灵活放缩,巧证数列不等式

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1、灵活放缩,巧证数列不等式【摘要】有关数列的不等式证明是历年高考命题的重点，灵活放缩是顺利解答此类问题的关键.本文结合实例介绍了放缩法证明此类问题的常用技巧.【关键词】数列；不等式；证明；放缩法；技巧数列与不等式的综合问题是历年高考数学命题的热点.在有关数列的不等式证明中，常常要运用放缩法.灵活放缩是顺利解答此类题的关键，但要运用好放缩法则不是件容易的事，因此掌握好放缩法的常见技巧显得极为重要.事实上，放缩法的常见技巧大致有下面四种形式：（1）通过“添（减）项”放缩.（2）通过“分式性质”放缩.（3）通过“基本不等式”放缩.（4）通过“函数的单调性”放缩.例1设数列{an}满足a1=1，且当n∈

2、n*时，a3n+a2n(1-an+1)+1=an+1.(1)试比较an与an+1的大小，并证明你的结论.(2)若bn=1-a2na2n+11an，其中n∈n*，证明：∑nk=1bkan.重点分析第(2)问.注意到数列{bn}的通项是比较复杂的分式，直接求和显然不可能简化，另一方面，数列{bn}的通项是关于{an}的相邻两项的关系式，考虑到第(1)问的结论an+1>an，先将数列{bn}的通项进行放缩，即∵bn=1-a2na2n+11an=a2n+1-a2nana2n+1=(an+1+an)(an+1-an)ana2n+1，又∵an+1>an>0，∴bn0，∴∑nk=1bk0且t≠1)，a2=t

3、2，且x=t是函数f(x)=13(an-1-an)x3-(an-an+1)x的一个极值点.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若点pn的坐标为（1,bn）(n∈n*)，过函数g(x)=ln(1+x2)图像上的点(an,g(an))的切线始终与opn平行（o为原点）.求证：当12

4、变量t没有了，取而代之的是常数2，观察到题目中出现了“12

5、，命题得证.在运用放缩法解题时特别要注意：放与缩要适度.若为了需要，放缩稍过，可运用分类思想对少数不满足目标的情况补充证明.