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《微分变换法求解fredholm积分方程组及分数阶四阶扩散波方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、毕业论文论文题目:微分变换法求解Fredholm积分方程组及分数阶四阶扩散波方程姓名:谭辉学号：P071513096学院：数学与计算机科学学院专业班级：2007级信息与计算科学（1）班指导老师：马维元16微分变换方法求解Fredholm积分方程组及分数阶四阶扩散波方程专业：信息与计算科学姓名：谭辉指导教师：马维元摘要本文定义了微分变换,介绍了如何进行微分变换操作,然后给出了Fredholm积分方程组并运用微分变换法解出了Fredholm积分方程组.文中对分数阶导数作了相关的介绍并对分数阶四阶扩散波方程进行了求解.关键词微分变换法,Fredholm积分方程组,分数阶导数ABSTRACTThi
2、spaperaimsatgivingadefinitionofdifferentialtransformandintroducingtheoperationofdifferentialtransformbycitinganexampleofworkingoutFredholmintegralequationsgroupwithdifferentialtransformmethod.Integralequationsoffractionalorderderivativeareintroducedandtherelatedfractionaldiffusionoffourth-orderwav
3、eequationsissolved.KeyWords：Differentialtransformationmethod,Fredholmintegralequations,Fractionalorderderivative16引言微分变换法是近年来发展起来的一种求解微分方程的数值方法,其显著特点是它能够解决线性和非线性微分方程.通过微分变换可以解决抛物型、双曲线、椭圆和非线性偏微分方程.分数阶微积分的理论研究几乎与整数阶微积分的发展史一样久远.然而由于长期没有得到实际应用背景的促进而发展极其缓慢.还应该指出的是,传统的微商运算是一种局部算子,而分数阶微分是一种非局部的整体算子.本文定义了
4、微分变换法并介绍了如何进行微分变换,然后用微分变换法求解了积分方程组及分数阶四阶扩散波方程,从而表明了用微分变换法求解偏微分方程的有效性及可行性.1.微分变换1.1一维微分变换1.1.1一维微分变换的基本定义和运算定义1.如果在定义域上是解析的,令(1)对于,,其中属于非负整数集,则式（1）可改写为,(2)其中是在上的变化范围,称式（2）为的微分变换.定义2：如果是解析的,则可以表示为：(3)16称之为的微分逆变换如果表示为：(4)则函数可以表示为：(5)其中,.作为一个加权因子.1.1.2一维微分变换的性质：性质1：如果,则.性质2：如果,则,其中为常数.性质3：如果,则.性质4：如果,
5、则.性质5：如果,则.1.2二维微分变换定义3：对于两个变量的二维函数,把它看作是两个单独变量的函数,,基于一维微分变换,函数可以表示为：(6)其中是的变化范围.如果是解析的,则16(7)其中是原函数,是转换函数,即为的微分变换.定义4：的微分逆变换的定义为：(8)由（7）和（8）可得：(9)1.3分数阶微分变换1.3.1Riemann-Liouville和Caputo定义关于分数阶导数的定义和介绍有很多,其中用到的最多的就是Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数,二者的不同之处表现在对分数阶的赋值上面.Riemann-Liouville分数阶导数的定义如下：(10)C
6、aputo分数阶导数的定义如下：(11)由（10）、（11）两式可得：（12）将解析函数展开成分数阶幂级数:(13)16Riemann-Liouville和Caputo之间的运算关系如下：(14)用代替（13）式中的,利用（15）式可得到Caputo分数阶导数为：(15)因为初始条件涉及的都是整数阶导数,故定义初始条件的变换式为：(16)其中为相应的分数阶微分方程的阶数.1.3.2分数阶微分变换法的定义及其性质对于给定的含分数阶微分方程,一维微分变换式为：,微分逆变换为：.二维微分变换式为：,逆变换为：16同样,分数阶微分变换法也有如下性质：性质1：如果,则.性质2：如果,则.性质3：如果
7、,则.性质4：如果,则.性质5：如果,则.在具体例子中应用这些性质即可得到相应的分数阶微分变换的公式.2.微分变换方法求解Fredholm积分方程组我们将积分符号下含有未知函数的方程称为积分方程,常见的有Fredholm方程和Volterra方程.形如：,(17),(18)的方程,其中a、b有限或无限,为复参数,,,为实自变量的复值函数,是未知函数，分别称(17)和(18)为第一类和第二类Fredholm方程,这类方程由
