矩阵特征问题的求解

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1、第五章矩阵特征问题的求解5.1引言在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。设A为n阶方阵，，若，有数l使Ax=lx（5.1）则称l为A的特征值，x为相应于l的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值l，满足（5.2）2．求特征向量，满足齐方程组（5.3）称j（l）为A的特征多项式，它是关于l的n次代数方程。关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义1设矩阵A,BÎRn´n，若有可逆阵P，使则称A与B相似。

2、定理1若矩阵A,BÎRn´n且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。定理2设AÎRn´n具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使其中li为A的特征值，P的各列为相应于li的特征向量。定理3AÎRn´n，l1,…,ln为A的特征值，则（1）A的迹数等于特征值之和，即（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即定理4设AÎRn´n为对称矩阵，其特征值l1≥l2≥…≥ln，则（1）对任AÎRn，x≠0，（

3、2）（3）定理5（Gerschgorin圆盘定理）设AÎRn´n，则（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，（5.4）（5.4）式表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余n–m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。例1设有估计A的特征值的范围。解由圆盘定理，A的3个圆盘为图5.1D1:D2:D3:见图5.1。D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值l1（因为虚根成对出现的原理），则3≤l1≤5。而l2，

4、l3ÎD1∪D2，则，即5.2乘幂法与反幂法在实际工程应用中，如大型结构的振动系统中，往往要计算振动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题。5.2.1乘幂法乘幂法是用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法，其特点是公式简单，易于上机实现。乘幂法的计算公式为：设AÎRn´n，取初始向量x(0)ÎRn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有（5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由递推公式（5.5

5、），有（5.6）这表明x(k)是用A的k次幂左乘x(0)得到的，因此称此方法为乘幂法，（5.5）或（5.6）式称为乘幂公式，{x(k)}称为迭代序列。下面分析乘幂过程，即讨论当k→∞时，{x(k)}与矩阵A的主特征值及相应特征向量的关系。设A=(aij)n´n有完全的特征向量系，且l1,l2,…,ln为A的n个特征值，满足v1,v2,…,vn为相应的特征向量且线性无关，从而构成Rn上的一组基底。对任取初始向量x(0)ÎRn，可由这组基底展开表示为（5.7）其中a1,a2,…,an为展开系数。将x(0)的展开式（5.7

6、）代入乘幂公式（5.6）中，得（5.8）利用（5.8）式为（5.9）（1）如果A有唯一的主特征值，即，设l1¹0，且由（5.9）式，有其中，由于，故当k充分大时，ek»0，此时（5.10）对i=1,2,…,n，若(a1v1)i¹0，考虑相邻迭代向量的对应分量比值，（5.11）即对i=1,…,n（5.12）这表明主特征值l1可由（5.11）或（5.12）式得到。由于迭代序列x(k)，当k充分大时，（5.10）式成立，x(k)与v1只相差一个常数因子，故可取x(k)作为相应于主特征值l1的特征向量的近似值。迭代序列x(k

7、)的收敛速度取决于的大小。（2）如果A的主特征值不唯一，且可分三种情况讨论：a）l1=l2；b）l1=-l2；c）情况a）当l1=l2时，A的主特征值为二重根，根据（5.9）式当k充分大时，由于，j=3,…,n，ek»0，则对i=1,2,…,n，如果，则（主特征值）且x(k)收敛到相应于l1(=l2)的特征向量的近似值。这种重主特征值的情况，可推广到A的r重主特征值的情况，即当且时，上述讨论的结论仍然成立。情况b）当l1=-l2时，A的主特征值为相反数，（5.9）式为当k充分大时，，j=3,4,…,n,ek»0，则（

8、5.13）由于（5.13）式中出现因子(-1)k，则当k变化时，x(k)出现振荡、摆动现象，不收敛，利用(-1)k的特点，连续迭代两步，得从而，对i=1,2,…,n，若，则（5.14）开方之后，便得到A的以上主特征值l1,l2=-l1。为计算相应于l1,l2的特征向量，采取组合方式，（5.15）（5.16）可见分别为相应于l1与l2的特征向量。