矩阵特征问题的求解简

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1、§1引言矩阵特征问题的求解物理、力学及工程技术领域中的许多问题在数学上都可归结为求方阵特征值和特征向量的问题，如振动问题：桥梁的振动、机械振动、电磁振荡、地震引起的建筑物的振动等等；物理学中的临界点、临界值的确定；微分系统中的稳定性研究。这些常见的问题都与方阵的特征值和特征向量有关。求方阵的特征值和特征向量是数学、物理学、力学、电磁电工学以及工程技术所面临的一个共同问题。定义：矩阵ARnn，若有数和非零向量xRn使得Ax＝x，则称为A的特征值，x称为对应的特征向量。在线性代数中的求法：解特征多项式

2、E-A

3、=0.利用线性代数中的上述方法计算特征值和特征

4、向量是十分困难的;我们的目的是寻求一种适合计算机运行的近似解法,且简单、可行、有效。复习相关理论定义设矩阵A,BRnn，若有可逆阵P，使定理1若矩阵A,BRnn且相似，则B=P-1AP则称A与B相似。（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。定理2：设ARnn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵。即矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量即有可逆阵P，使定理3：ARnn，1,…,n

5、为A的特征值，则（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即（1）A的迹数等于特征值之和，即定义：设ARnn为对称矩阵，对任意xRn，x≠0，则称比值矩阵A关于向量x的瑞雷(Rayleigh)商瑞雷(L.Rayleigh)——英国数学家，1842－1919定理4设ARnn为对称矩阵，其特征值1≥2≥…≥n，则1）对任意xRn，x≠0，2）3）定理5（Gerschgorin圆盘定理）设ARnn，则表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n–m个

6、圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。1乘幂法定理6设ARnn有n个线性无关的特征向量，若1,2,…,n为A的n个特征值且满足对任取初始向量x(0)Rn，(x(0)0)对乘幂公式确定的迭代序列{x(k)}，有下述结论：乘幂法与反幂法乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征值及其特征向量的方法。（1）当时，对i=1,2,…,n收敛速度取决于的程度，r<<1收敛快，r1收敛慢，且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。（2）当时a）若1=2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；收敛速度取决于程度。向量,分别为主特征值1、2相应的

7、特征向量的近似值。b）若1=-2，对i=1,2,…,nc）若，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，然后对j=1,2,…,n解方程求出、后，由公式解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于的程度。向量、分别为相应于1，2的特征向量的近似值。乘幂法方法步骤设为n维向量，令r=max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。1.任意给定初始向量(非零)v(0)=u(0)0，取r0=max(v(0));2.产生迭代序列：为求A矩阵的按模最大的特征值1和其相应的特征向量1，v(1)=Au(0)，取r1=max(v(1)),…………v(2)=Au(1)，取r

8、2=max(v(2)),v(k)=Au(k-1)，取rk=max(v(k)),3.循环次数控制：当

9、rk-rk-1

10、<时,结束循环，输出rk1，u(k)1定理7设ARnn有n个线性无关的特征向量1，2……n，1,2,…,n为A的n个特征值，且满足则对任初始向量v(0)=u(0)0，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k)满足(1)（2）u(k)1为相应于主特征值1的特征向量.例用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值及其相应的特征向量，其中解：取初始向量v(0)=u(0)＝（0，0，1）T,则v(1)=Au(0)=(2，4，1）

11、T;r1=max(v(1))=4;u(1)=1/4(2，4，1）T=(0.5，1，0.25）T;v(2)=Au(1)=(4.5，9，7.75）T;r2=max(v(2))=9;…………结果如下：r[1]=4.000000,u(1)=(0.500000,1.000000,0.250000)T

12、r1-r0

13、=4.000000,r[2]=9.000000,u(2)=(0.500000,1.000000,0.861111)T

14、r2-r1

15、=5.000000,r[3]=11.444445,u(3)=(0.500000,1.000000,0.730582)T

16、r