2018版高中数学苏教版必修五学案:2疑难规律方法:第2章 数列

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修五学案1 数列的表示法对于刚接触数列的同学来说,理解数列的概念与表示法,是理解数列的关键一步,也可以为以后的学习奠定良好的基础,下面对数列的四种表示方法作简单的分析.一、通项公式法例1 试写出数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式.解 数列的各项可记为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以数列的通项公式为an=2n+1.点评 这类问题关键在于观察各项与对应序号之间的关系,建立合理的联想、转换.写出一个数列的通项公式,体现了由特殊到一般的思维规律.通项公式法是数列最重要的一种表示方法.二、列表法例2 数列{a

2、n}如下表所示,试归纳其通项公式.n12345…an…解 数列{an}中各项的分子依次为1,2,3,…,恰好是序号n;各项的分母为2,3,4,…,可看成n+1,所以数列的通项公式为an=.点评 由于数列可看成特殊的函数,所以数列也可用列表法表示,列表法具有直观、清晰的特点.三、图象法数列是一类特殊的函数,数列的序号可看成自变量,数列的项可看成函数值,数列的通项公292017-2018学年苏教版高中数学必修五学案式也就是相应函数的解析式,所以数列可用图象法表示,如数列{n+2}的图象如图.由图可看出,数列可用一群孤立的点表示,从数列的图象中可以直观地看出数列的变化情况.把数

3、列与函数进行比较,数列特殊在定义域是正整数集或其子集.四、递推公式法例3 将正整数数列1,2,3,4,…的各项按照上小下大、左小右大的原则排成如下图的三角形数表,12 34 5 6……(1)分别写出数表中第4行、第5行的各数;(2)将数表中每行的第一个数组成一个数列,观察规律,给出此数列的一个递推关系式.解 (1)由题意知,第4行的各数为7,8,9,10;第5行的各数为11,12,13,14,15;(2)由数表得,每行的第一个数组成的数列为1,2,4,7,11,…,观察得a2-a1=2-1=1,a3-a2=4-2=2,a4-a3=7-4=3,a5-a4=11-7=4,….

4、所以an-an-1=n-1,故此数列可表示为a1=1,an-an-1=n-1.点评 数列的递推公式是数列的一种表示形式,体现了数列的一种递推关系,一种递推规律.292017-2018学年苏教版高中数学必修五学案2 数列中的数学思想数学思想在数列的学习中起着重要的作用.若能根据问题的题设特点,灵活地运用相应的数学思想,往往能迅速找到解题思路,从而简便、准确求解.一、方程思想例1 在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求通项an.分析 欲求通项an,需求出a1及q,为此根据题设构造关于a1与q的方程组即可求解.解 方法一 ∵a1a3=a,∴a1a2

5、a3=a=8,∴a2=2.从而解得a1=1,a3=4或a1=4,a3=1.当a1=1时,q=2;当a1=4时,q=.故an=2n-1或an=23-n.方法二 由等比数列的定义知a2=a1q,a3=a1q2,代入已知得即即将a1=代入①,得2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,由②得或∴an=2n-1或an=23-n.二、分类讨论思想例2 已知{an}是各项均为正数的等差数列,且lga1,lga2,lga4也成等差数列,若bn=,n=1,2,3,…,证明:{bn}为等比数列.证明 由于lga1,lga2,lga4成等差数列,所以2lga2=lga1+lga4,则a=a1·a

6、4.设等差数列{an}的公差为d,则有(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=da1,从而d(d-a1)=0.(1)当d=0时,数列{an}为常数列,又bn=,则{bn}也是常数列,此时{bn}是首项为正数,公比为1的等比数列.(2)当d=a1≠0时,则a2n=a1+(2n-1)d=d+(2n-1)d=2nd,所以bn==·,292017-2018学年苏教版高中数学必修五学案这时{bn}是首项b1=,公比为的等比数列.综上,{bn}为等比数列.三、特殊化思想例3 在数列{an}中,若=k(k为常数),n∈N*,则称{an}为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的

7、判断:①k不可能为0;②等差数列一定是等差比数列;③等比数列一定是等差比数列;④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是________.分析 本题为新定义题,且结论具有开放性,解决本题可借助新定义构造特殊数列,排除不正确的判断,从而简捷求解.解析 数列a,a,…,a(a≠0)既是等差数列,又是等比数列,但不满足=k,即不是等差比数列,故②、③不正确.故选①④正确.答案 ①④四、整体思想例4 在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100=________.分析 根据题设条件可知

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