2018版高中数学人教b版必修四学案第三单元 3.1.1 两角和与差的余弦含答案

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1、www.ks5u.com3.1.1　两角和与差的余弦学习目标　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点　两角和与差的余弦公式思考1　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举出两例加以说明.　　思考2　单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？　　-9-思考3　请根据上述

2、条件推导两角差的余弦公式.　　思考4　如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？　　梳理　两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝__________________.Cα－β：cos(α－β)＝____________________.类型一　利用两角和与差的余弦公式求值例1　计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°－sin15°sin105°.　　　反思与感悟　利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解.(2)在

3、转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差或和的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1　求下列各式的值.(1)cos105°；(2)cos46°cos16°＋sin46°sin16°.　　　-9-类型二　给值求值例2　已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值.　　　反思与感悟　三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)

4、，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2　已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cosβ的值.　　类型三　给值求角例3　已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值.　　　反思与感悟　求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.-9-跟踪训练3　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值.　　1.计算coscos＋cossin的值是(

5、　　)A.0B.C.D.2.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b等于(　　)A.B.C.D.－3.设α∈，若sinα＝，则cos等于(　　)A.B.C.－D.－4.已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)的值.　　　5.已知sinα＝－，sinβ＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α＋β)的值.-9-　1.公式Cα－β与Cα＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征.如：cosαcosβ

6、±sinαsinβ＝cos(α∓β).2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝＋等.-9-答案精析问题导学知识点思考1　不正确．例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝－，故cos(α－β)≠cosα－cosβ；再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝，故cos(α－β)≠cosα－co

7、sβ.思考2　A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)．与的夹角是α－β.思考3　①·＝

8、

9、

10、

11、cos(α－β)＝cos(α－β)，②·＝cosαcosβ＋sinαsinβ.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.思考4　用－β代换cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β便可得到．梳理　cosαcosβ－sinαsinβ　cosαcosβ＋sinαsinβ题型探究例1　解　(1)原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45

12、°＝×＋×＝.跟踪训练1　解　(1)原式＝cos(150°－45°)-9-＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－×＋×＝.(2)原式＝cos(46°－16°)＝cos30°＝.例2　解　因为α∈，sinα＝<，所以0<α<.所以α－β∈，又因为cos(α－β)＝<，所以－<α－β<－.所以cosα＝＝＝，sin(α－β)＝－＝－＝－，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝