2018版高中数学人教b版必修四学案3.1.1 两角和与差的余弦

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1、3．1　和角公式3．1.1　两角和与差的余弦[学习目标]　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[知识链接]1．当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cosα＋cosβ成立．那么当α、β∈R时，cos(α－β)＝cosα＋cosβ恒成立吗(举例说明)?答　不恒成立，如α＝，β＝时．2．请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝1＝cos_0°；②cos60°cos30°＋

2、sin60°sin30°＝＝cos30°；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0＝cos(－90°)；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝＝cos(－60°)．猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[预习导引]1．两角差的余弦公式Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α、β为任意角．2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即Cα＋β：cos(

3、α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_αcos(－β)＋sin_α·sin(－β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.6要点一　运用公式求值例1　计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解　(1)方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.方法二　原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝

4、0.规律方法　利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值．跟踪演练1　计算：(1)sin75°；(2)sinxsin(x＋y)＋cosxcos(x＋y)．解　(1)sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cosy.要点二　给值求值6例2　设cos(α－)＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.

5、解　∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝.cos＝＝＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.规律方法　三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝，α＝等．跟踪演练2　已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求cosβ的值．解　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝＝，sin(α＋β)＝＝.又∵β＝(α＋β)－α

6、，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.6要点三　已知三角函数值求角例3　已知α、β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．解　∵α、β均为锐角，∴sinα＝，sinβ＝.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.又sinα

7、函数图象就易求出角的值．跟踪演练3　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，得sin(α＋β)＝－，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.又∵α－β∈，α＋β∈，6∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.1．cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　cos78°cos18°＋sin78°

8、sin18°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝，故选A.2．sin14°cos16°＋sin76°c