2018版高中数学人教b版必修四学案1.2.3 同角三角函数的基本关系式

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1、1.2.3　同角三角函数的基本关系式[学习目标]　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]　如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答　设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝>0，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.于是sin2α＋cos2α＝2＋2＝＝1，＝＝＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.[预习导引]1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原

2、点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝>0.则sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z)．63．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cos_αtan_α；cosα＝.要点一　利用同角基本关系式求值例1　已知cosα＝－，求sinα，tan

3、α的值．解　∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.规律方法　已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．跟踪演练1　已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解　由tanα＝＝，得sinα＝cosα①又sin2α＋cos

4、2α＝1②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，6∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.要点二　三角函数代数式的化简例2　化简下列各式：(1)；(2)＋，其中sinα·tanα<0.解　(1)＝＝＝＝－1.(2)由于sinα·tanα<0，即<0，∴cosα<0，∴α是第二、三象限角．∴＋＝＋＝＋＝＝－.规律方法　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化

5、成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(4)关于sinα，cosα的齐次式的求值方法①sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，如可化为，再代入求值．②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可写成，进一步化

6、为，再代入求值．跟踪演练2　已知tanα＝3，则6(1)＝________；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝________.答案　(1)1　(2)1解析　(1)＝＝＝1；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝＝＝＝＝1.要点三　三角函数恒等式的证明例3　求证：＝.证明　∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．规律方法　(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．跟踪演练3　已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是

7、恒等式．求a、b、c的值．解　2cos4θ＋5cos2θ－7＝2－4sin2θ＋2sin4θ＋5－5sin2θ－7＝2sin4θ－9sin2θ，故a＝2，b＝－9，c＝0.1．化简＝________.答案　cos40°－sin40°解析　原式＝＝＝

8、cos40°－sin40°

9、＝cos40°－sin40°.2．已知α是第三象限角，sinα＝－，则tanα＝________.6答案　解析　由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα＝－，所以cosα＝－＝－，则tanα＝＝.3．若α是第三象限角，化简＋.解　∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函数线可知－