无穷级数 知识点总复习

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1、无穷级数知识点总复习本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和．§7.1数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．●常考知识点精讲一、数项级数的概念1．数项级数定义定义：设是一个数列，则称表达式为一个数项级数，简称级数，其中第项称为级数的通项或一般项，称为级数的前项部分和．2．级数收敛的定义定义：若数项级数的部分和数列有极限，则称级数收敛，极限值称为此级数的和．当不存在时，则称级数发散．利用级数收敛的定义，易知当时，几何级数收敛，和为；当，几何级数

2、发散．[例1.1]判断下列级数的敛散性⑴⑵解：⑴由于所以，故级数收敛．⑵由于59所以，故级数发散．二、级数的基本性质及收敛的必要条件1．设都收敛，和分别为，则必收敛，且；评注：若收敛，发散，则必发散；若都发散，则可能发散也可能收敛．2．设为非零常数，则级数与有相同的敛散性；3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；4．级数收敛的必要条件：如果收敛，则；5．收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变．评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散．[例1.2]判断下列级数的敛散性⑴⑵解：⑴由于收敛

3、，发散，所以发散，由性质5的“注”可知级数发散；⑵由于，不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散．三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（）的级数称为正项级数．1．正项级数收敛的基本定理定理：设是正项级数的部分和数列，则正项级数收敛的充要条件是数列59有界．当时，级数收敛；当时，级数发散．（时的级数也叫调和级数）2．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设都是正项级数，并设，则⑴若收敛，则收敛；⑵若发散，则发散．定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设都是正项级数，并设或为，则⑴当为非零常数时，级数有相同的敛散性

4、；⑵当时，若收敛，则必有收敛；⑶当时，若发散，则必有发散．评注：用比较判别法的比较对象常取级数与等比级数及．3．正项级数的比值判别法定理：设是正项级数，若或为，则级数有⑴当时，收敛；⑵当或时，发散；⑶当时，敛散性不确定．59评注：⑴若，则级数必发散；⑵如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性；⑶当1或不存在（但不为），则比值判别法失效．4．正项级数的根值判别法将比值判别法中的改成，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法．5．利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性定理：设是正项级数，为的阶无穷小，则当时，

5、正项级数收敛；当时，正项级数发散．[例1.3]判断下列级数的敛散性⑴⑵⑶⑷解：⑴由于，而级数发散，故原级数发散；⑵由于，所以由比值判别法可得，原级数收敛；⑶由于，所以由根值判别法可知，原级数收敛；⑷由于为的阶无穷小，所以原级数收敛．四、交错级数及其敛散性判别法1．交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如59的级数，称为交错级数．2．交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数满足条件⑴；⑵，则交错级数收敛，其和其余项满足．五、任意项级数及其绝对收敛若级数的各项为任意实数，则称它为任意项级数．1．条件收敛、绝对收敛若收敛

6、，则称绝对收敛；若发散但收敛，则称条件收敛．评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和．2．任意项级数的判别法定理：若级数收敛，则级数收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．[例1.4]判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛⑴⑵解：⑴记因为所以级数收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；⑵记由于，而发散，所以级数发散59又是一交错级数，，且，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．●●常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例7.1.1]已知，，则级数的和等于__________.解：由于，所以根据级数

7、的性质可得从而因此．[例7.1.2]设，则下列级数中肯定收敛的是（A）；（B）；（C）；（D）解：取，则，此时（A）与（C）都发散；若取，则，此时（B）发散；由排除法可得应选（D）．事实上，若，则，根据“比较判别法”得收敛．从而收敛，故应选（D）．[例7.1.3]已知级数发散，则（A）一定收敛，（B）一定发散59（C）不一定收敛（D）解：假设收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即也收敛．这与已知矛盾，故一定发散．应选（B）．[例7.1.4]设正项级数的部分和为，又，已知级数收敛，则级数必（A）收

8、敛（B）发散（C）敛散性不定（D）可能收敛也可能发散解：由于级数收敛，所以根据收敛的必要条件可得，又，所以，故级数发散，故应选（B）．[例7.1.5]设有命题（1）若收敛，则收敛；（2）若为正项级数，且，则收敛；（3）若存在极限，且收