2018届高三数学（理）二轮复习专题集训：专题二 函数、不等式、导数2.4.2含解析

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1、2018届高三数学二轮复习专题集训A级1．若函数f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是(　　)A．对任意m<－，都存在x∈R，使得f(x)－，都存在x∈R，使得f(x)－，方程f(x)＝m总有两个实根解析：　因为f′(x)＝[(x＋1)ex]′＝(x＋1)ex＋ex＝(x＋2)ex，故函数在区间(－∞，－2)，(－2，＋∞)上分别为减函数与增函数，故f(x)min＝f(－2)＝－，故当m>－时，总存在x使得f(x)

2、x(x3－3x＋3)－aex－x(x≥－1)，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为(　　)A.B．eC．1－D．e－1解析：　∵f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0有解，∴a≥x3－3x＋3－有解．令g(x)＝x3－3x＋3－，则g′(x)＝3x2－3＋＝(x－1)(3x＋3＋)，故当x∈[－1,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在[－1,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故g(x)min＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，∴a≥1－，∴实数a的最小值为1－.答案：　C3．已知a

3、，b∈R，直线y＝ax＋b＋与函数f(x)＝tanx的图象在x＝－处相切，设g(x)＝ex＋bx2＋a，若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2－2恒成立，则实数m(　　)A．有最小值－eB．有最小值eC．有最大值eD．有最大值e＋152018届高三数学二轮复习专题集训解析：　∵f(x)＝tanx＝，∴f′(x)＝＝，∴a＝f′＝2，又点在直线y＝ax＋b＋上，∴－1＝2×＋b＋，得b＝－1，∴g(x)＝ex－x2＋2，g′(x)＝ex－2x，令h(x)＝ex－2x，则h′(x)＝ex－2，当x∈[1,2]时，h′(x)≥h′(1)＝

4、e－2>0，∴g′(x)在[1,2]上单调递增，∴g′(x)≥g′(1)＝e－2>0，∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴解得m≤－e或e≤m≤e＋1，∴m的最大值为e＋1，无最小值，故选D.答案：　D4．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处切线的倾斜角为，且对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，则实数m的取值范围是　(　　)A．(－∞，－5)B．C．(－9，＋∞)D．解析：　由函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)，可得f′(x)＝

5、－a，f′(2)＝－＝1，得a＝－2.又对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，只需g(x)＝x3＋x2－2x在(2,3)上不是单调函数，故g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2在(2,3)上有零点，即方程m＝－3x－4＋在(2,3)上有解．而y＝－3x－4＋在(2,3)上单调递减，故其值域为，所以实数m的取值范围是.故选D.答案：　D5．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)

6、上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．解析：　(1)证明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x得，h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点．(2)由(1)得h(x)＝ex－1－－x.由g(x)＝＋x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．因为h′(x)＝ex－x－－1，记φ(x)52018届高三数学二轮复习专题集训＝ex－x－－1，则φ′(x)＝ex＋x－

7、.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点．所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.6．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解析：　(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋，＋∞

8、)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)单调递减，在(－1－，－1＋)单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.当a≥1时，设函数h(x)