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《2017-2018学年高中数学人教b版选修2-3教学案2.3.1 离散型随机变量的数学期望含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望设有12个西瓜，其中重5kg的有4个，重6kg的有3个，重7kg的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？提示：X＝5,6,7.问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？提示：，，.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？提示：＝5×＋6×＋7×.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画
2、了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np；若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别11随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变
3、量，它随样本的不同而变化．求离散型随机变量的期望[例1] 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望．[思路点拨] 明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望．[精解详析] X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.抽取次数X的分布列为X123PE(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5.[一点通] 求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由期
4、望的定义求出E(X)．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是，∴E(X)＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X11＝0就参加学校合唱
5、团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为：X－2－101PE(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.二项分布与超几何分布的均值[例2] 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故
6、障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望E(X)．[思路点拨] (1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X服从二项分布，列出X的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望．[精解详析] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么P(C)＝1－P()＝1－·p＝.解得p＝.(2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.故P(X＝0)＝C3＝，11P(X＝1)＝C2×＝，P(X＝2)＝C×2＝，P(X＝3)＝C3＝.所以随机变量
7、X的概率分布列为X0123P故随机变量X的数学期望：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.[一点通]1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np；(3)超几何分布，即X～H(n，M，N)，则E(X)＝.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B.C.D．1解析：法一：P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
