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1、北京市西城区2009年抽样测试高三数学试卷（理科）2009.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，那么集合等于（）A.B.C.D.2.设i是虚数单位，复数i，则等于（）A.iB.iC.iD.i3.若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列4.设a为常数，函数.若为偶函数，则等于（）A.-2B.2C.-1D.15.已知直线a和平面，那么的一个充分条件是（）A.存在一条直线b，B.存在一条直线b，C.存在一个平面D.存在一
2、个平面6.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（）A.B.C.D.7．设R，且，，则()第13页共13页A.B.C.D.8.函数f(x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：；；.则等于（）A.B.C.1D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.的值等于___________.10.的展开式中的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)11.不等式的解集为_____________.12.设O为坐标原点，向量.将绕着点
3、按逆时针方向旋转得到向量,则的坐标为____________.13.给出下列四个函数：①；②；③；④.其中在上既无最大值又无最小值的函数是_________________.（写出全部正确结论的序号）14.已知函数由下表给出：01234其中等于在中k所出现的次数.则=______________；第13页共13页___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随
4、机选1人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（Ⅱ）设为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.16.（本小题满分12分）OAxBy如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，
5、OB
6、=2,设.（Ⅰ）用表示点B的坐标及；（Ⅱ）若，求的值.第13页共13页17.（本小题满分14分）ABDCP如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，又.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.18.（本小题满分14分）设R，函数.（Ⅰ）若函数在点处
7、的切线方程为，求a的值；（Ⅱ）当a<1时，讨论函数的单调性.第13页共13页19.（本小题满分14分）已知椭圆C，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且(O为坐标原点).求当时，实数的取值范围.20.（本小题满分14分）设，对于有穷数列(),令为中的最大值，称数列为的“创新数列”.数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”.例如数列的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.（Ⅰ）若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列
8、；(Ⅱ)是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列中，求它们的首项的和.第13页共13页北京市西城区2009年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科）2009.4题号12345678答案CBABCCDA一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.10，24311.12.13.14.注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记“2次汇报活动都是由小组成员甲发言”为事件A.----
9、-------------------------1分由题意，得事件A的概率，即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为.---------------------------5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0,----------------------------6分每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.；；所以，的分布列为：20P---------------------------10分的数学期望.----
