第六章 积 分 学 section2

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1、§2多重积分、曲线积分与曲面积分一、多重积分1.二重积分连续函数f(x,y)在有限可求积的平面区域Ω内的二重积分式中,,是对Ω中的所有的下标i，j求和.[特定区域内二重积分的计算公式]积分区域Ω计算公式（积分限应从小到大）设，则[二重积分的变量替换(雅可比式)]若连续可微分的函数把平面Oxy上的有界闭区域Ω单值映射到平面上的闭区域Ω'，其雅可比式为则例若则所以2.三重积分[直角坐标下的三重积分]假设有界区域V由下列不等式a≤x≤b,≤y≤,≤z≤确定，其中,,,都是连续函数，且函数f(x,y,z)

2、在V上是连续的，则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分有时采用下面公式计算：式中是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(图6.3).例设V表示在第一卦限中由曲面和坐标平面所围成的封闭区域，则当一切常数都是正的时候，有这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到.[圆柱坐标下的三重积分](图6.4)（一般地，0≤≤2π)式中V为直角坐标中的有界区域，V'是区域V在圆柱坐标系中的表达式.[球面坐标下的三重积分](图6.5)（一般地，0≤≤2π,0≤θ≤π)式中V'是区域V在球面

3、坐标系中的表达式.[三重积分的变量替换(雅可比式)]若连续可微函数把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw空间的闭区域V'，并且当（u,,w)∈V'时其雅可比式则3.多重积分[直接计算多重积分]若函数f()在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω内是连续的：a≤≤b()≤≤()………………………()≤≤()式中a,b为常数，()，()，…，()，()为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：[多重积分的变量替换（雅可比式）]若连续可微函数=(),i=1,2,…,n把O空间内的有界闭区域

4、Ω双方单值地映射成O'空间内的有界闭区域Ω',并且在闭区域Ω'内雅可比式则特别，根据公式变换成极坐标(r,)时，有：一、曲线积分[对弧长的曲线积分]若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:的各点上有定义并且连续（图6.6）则式中ds为弧的微分，等.这个积分与曲线C的方向无关.[对坐标的曲线积分]若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，则当曲线C的正向变更时，积分的符号改变.[全微分的情形]若函数P=P(x,y,z)

5、,Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续，并且式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数，则式中()为积分曲线C的始点，()为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7).在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分的充分必要条件是：在区域V内等式成立.这时函数u可按下面公式求得：式中()为区域V内的某一固定点.[格林公式]1°曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单（无自

6、交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边，若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续，则有格林公式：2°曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q,在区域S上连续，且则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即因而由S中的A到B的积分与线路无关（图6.8)，即一、曲面积分[对曲面面积的曲面积分]1°若S为逐片光滑的双侧曲面*z=z(x,y)((x,y))式中σ为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z(x,y)为单值连续可微函数，函数f(x,y,z)在曲面S的各点上

7、有定义并连续，则此积分与曲面S的方向（法线的方向）无关.2°若曲面S由连续可微函数((u,)∈Ω)给定，则式中*曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，它们就是选定方向的法线在曲面上连续移动（不经过曲面边缘）的指向，所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为双侧曲面.[对坐标的曲面积分]若S为光滑的双侧曲面，为它的正面，即由法线方向n(cosα,cosβ,cosγ)所确定的一侧，P=

8、P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)为在曲面S上有定义并且连续的函数，则若曲面S由连续可微函数((u,)∈Ω)给定，则式中[斯托克斯公式]若C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数，则[高斯公式]若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续，则有高斯公式：式中cosα,cosβ,co