《高等代数上》试卷及答案十.

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1、《高等代数上》试卷及答案十　　　　一、选择题（每小题3分，共24分）　１．下面论述中,错误的是()　　Ａ．奇数次实系数多项式必有实根；Ｂ．代数基本定理适用于复数域；　Ｃ．任一数域包含Q；Ｄ．在中,　2.已知是数域P上的不可约多项式，则下列命题中错误的是（）　A．若则；　　　B．若则；　　　C．若则；　D．若且则　3．以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项　　Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．　　4.．设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）　　　A．若仅有零解，则有唯一解；　　Ｂ．若有非零解，则有无穷多个解；　Ｃ．若有

2、无穷多个解，则仅有零解；　　　Ｄ．若有无穷多个解，则有非零解　　５．设，若，则P=（）　Ａ．Ｂ．　　　Ｃ．Ｄ．　　　６．是矩阵，是矩阵，若的第列元素全为零，则下列结论正确的是（）　　　Ａ．的第列元素全等于零Ｂ．的第行元素全等于零　　　Ｃ．的第列元素全等于零Ｄ．的第行元素全等于零　　７.设、为阶方阵，则有（）　　A.，可逆，则可逆B．可逆，不可逆，则不可逆　C.可逆，不可逆，则不可逆D.，不可逆，则不可逆　　８．设矩阵的秩为，则下列结论成立的是（）　　A．可通过列的初等变换必可化为的形式；　　　Ｂ．的任意一个阶子式不等于零；　　　Ｃ．若矩阵满

3、足，则；　　Ｄ．的任意行元素按原来顺序排列形成的阶方阵秩必为　　　　　　　　二、填空题（每小题3分，共１８分）　　　　　１．把表成的多项式是　２.为多项式，用除时余式为3，用除时余式为5，则用除时余式为　　３．已知阶方阵的行列式＝，则.　　　４．设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为　5．设且A经若干次第三种初等变换化为，则　６．设四阶方阵，则的逆矩阵　　　　　三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）　　　１．（6分）设，，与是什么数时，能被整除？　２．（8分）已知，其中，，求矩阵.　３

4、．（８）取什么值时,线性方程组　有解？在有解的情形求一般解　　　四、简答题（（本大题共２个小题，共1２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）　　　１．（5分）设为数域P上的不可约多项式，则在复数域上无重根，问此命题的逆命题是否成立？为什么？　２．（7分）是阶可逆阵，调换的第列与第列得到矩阵.问可逆吗？为什么？若不可逆，试举反例；若可逆，求出.　　　　五、证明题（本大题共3个小题，共2２分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）　1.（7分）设，证明：如果，那么对，都有.　2．（７分）设=为一个n阶方阵，证明：可逆当且仅当=0.　　　3.（８分）

5、设，用线性方程组理论证明，若是有n+1个不同的根，那么是零多项式.　　　　　　　　　　　　　　　　　　参考答案　　一、选择题（每小题3分，共24分）　　　　　1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ　　二、填空题（每小题3分，共１８分）　　1．　2．　　3．　4．　5．d　6．　　　　三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）　　１．（6分）设，，与是什么数时，能被整除？　　　　解：方法一、利用辗转相除法，得余式：　，………………………………………..4分　由已知，……………………………………………..

6、2分　方法二、由于能被整除，而的零点为1和-1，所以1和-1也应是的零点，即　和…………5分　　　故…………………………………………………...….1分　　　　　　２．（8分）已知，其中，，求矩阵。　　解：由得　　而可逆…………….2分　　　　可以求得………………………………………...3分　　　所以=………………3分　３．（８）取什么值时,线性方程组　有解？在有解的情形求一般解。　　解：对方程组的增广矩阵做初等变换：　　　　　……………..3分　　故当时，即时原方程组若有解…………………………………...3分　　解得一般形式为其中为自由未

7、知量。…………..2分　　　四、简答题（（本大题共２个小题，共1２分.须写出必要的推演步骤和文字说明）　　１．（5分）设为数域P上的不可约多项式，则在复数域上无重根，问此命题的逆命题是否成立？为什么？　　　答：否…………………………………………………………………………………..2分　因为若，则在复数域上不可约，但它在整数域内可约，故必在数域上可约。………………………………………………………………………..3分　　　2．（7分）是阶可逆阵，调换的第列与第列得到矩阵。问可逆吗？为什么？若不可逆，试举反例；若可逆，求出。　答：可逆……………………

8、……………………………………………………………2分　因为……………………………………………………………………….1分　　　并且可逆，为第一种初等矩阵也可逆，故作为两个可逆矩阵的乘