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1、#!第!"卷第#期$新疆师范大学学报%&自然科学版’()*+!",-)+#!../年0月1)2345*)67849854:-)3;5*<48=>3?8@AB>C+!../&-5@235*BD8>4D>?EF8@8)4’GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG整数分拆的一种算法陈星,王迪吉&新疆师范大学数理信息学院,新疆乌鲁木齐H#.."I’J摘要K文章讨论了整数分拆中的一个计数问题,从中得到了一些小结论,从而为一些整数分拆的计数提供了方便L关
2、键词K整数分拆M部分M正整数MN>33>3图中图分类号KOP"Q+P文献标识码KR文章编号KP..HS0/"0S&!../’S.#S..#!S.!许多组合计数问题往往归结为求满足一些条件的整数分拆的个数M而对各种条件下怎样求整数的分拆是比较困难的L本文就是对满足其中一种条件的分拆进行了讨论进一步得出了这种条件下的计数公式LP准备知识定义P设T是V个正整数,T如果TXT则分解式TXTP,T!,U,TVPWT!WUWTV,PYT!YUYTV,PYT!YUYTV称为T的恰有V个部分的&无序’分拆,或称为一个部分数为V的TZ分拆,T[&[XP
3、,!,U,V’称为该分拆的一部分L以表示部分数为V的TZ分拆的个数LV&T’定义!设TXT是任一个部分数为]的TZ分拆,则它对应于这样的一个由T个点构成PYT!YUYT]的行数为],列数为T的点阵图M第[&[XP,!,U,]’行有T个点,且每一行的第^&P_^_T个点位于第^列P[P’中,这个点阵图称为该分拆的‘aVVaV图LV定理PV&T’Xb]&TZV’L]XPTcVd定理!V&T’XbVZP&TZV]YVZP’&TeVW!’L]XP定理#设T,]都是正整数,以_]_]_&]’&T’表示无一部分大于]的TZ分拆的个数L
4、令XP,则&T’X]&TY]’L!主要结果我们考虑与定理#相反的一种情况,从而得到在另一种约束条件下的计数公式L定理设T,]都是正整数,以f]f]&T’表示无一部分小于]的TZ分拆的个数L令&.’X.,则Tc]df]&T’Xb[&TZ[&]ZP’’[XP证明设满足假设要求的分析个数为g,则对正整数T来说要将其分解成每个部分不小于]的部分和,万方数据Jc收稿日期d!../ZIZP.c作者简介d陈星&P0H!Z’,女,新疆伊犁人,在读硕士研究生,主要从事组合优化和离散方面的研究L第4期陈星等整数分拆的一种算法44!则!至多被
5、分成"#个部分%$!"$#!现以&’(’)*+,+-+.表示把!分成’个部分+且每个部分都不小于$的方法数+则&)/&’%现"$#’)*求&不妨设’个部分由大到小依次为0’%*+0,+-0’(0*10,1-10’1$.现令!2)023($3*.(2)*+,+-+’.则!*1!,1!41-1!’1*且!3’($3*.)!*5!,5-5!’.(6.而(6.式对应一个部分数为’的!3’($3*.3分拆从而&’)7’(!3’($3*..!!"$#"$#即得78$(!.)&)/&’)/7’(!3’($3*..9’)*’)*下面来看一个例子%例现
6、要将,:箱物资分堆存放+求每堆不少于;箱的分法有多少种<,:解设满足条件的方法有&种+则至多可以把,:箱物资分成"#)=堆%由定理可得;,:";#8;&)>(,:./7’(,:3’(;3*..’)*=)/7’(,:34’.’)*)7*(*?.57,(*;.574(**.57;(@.57=(=.,,*;**54)*555/7*(@3;$54.5*",#"*,#$)*)*5?5*:5*5*5*),*由上述的定理我们还可以得到下面的一个推论%推论设!+$+A都是正整数且AB$+以表示无一部分小于A且无一部分大于$的!3分拆的个数%则!"A#
7、AB$7(!.)/7’(!3’($3*..9!’)"#$由CDAADA图在整数分拆中的意义我们还可以得到下面两个结论E结论*设!+$都是正整数+以表示至少有$个部分的!3分拆(!1$.的个数+并令7则71$(:.):1$1$(!.)7(!.9结论,设!+$+A(:FAB$B!.都是正整数+以表示至少有A个部分+至多有$个部分的!3分拆的个数+则7$1A$1A(!.)7(!.94总结本文解决了整数分拆中的一个问题+整数的分拆是一个较困难的问题+这其中还可以在添加一些别的约束条件这些还有待于进一步探索%参考文献E"*#曹汝成G组合数学"H
8、#G广州E华南理工大学出版社+,::4+I",#孙淑玲G万方数据组合数学引论"H#G合肥E中国科学技术大学出版社+,:::+@"4#姜建国G组合数学"H#G西安E西安电子科技大学出版社+,::4+J(下转第4I页.";新
