高等代数习题解答(第一章)

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1、高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当取何值时，多项式与相等？提示：比较系数得.补充题2．设，，证明：．证明假设不成立．若，则为偶数，又等于0或次数为偶数，由于，首项系数（如果有的话）为正数，从而等于0或次数为奇数，矛盾．若或则为奇数，而或为偶数，矛盾．综上所证，．1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x)=x3-3x2-x-1，g(x)=3x2-2x+1；2）f(x)=x4-2x+5，g(x)=x2-x+2．1）解法一待定系数法．由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x

2、)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于2．于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x3-3x2-x-1=(x+a)(3x2-2x+1)+bx+c右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得,,解得,,，故得12解法二带余除法．3-211-3-1-11-1得2）2．适合什么条件时，有1）2）1）解除得余式为：，令，即故的充要条件是2）解除得余式为：，令，即12解得的充要条件是或3．求除的商与余式：1）2）1

3、）解法一用带余除法（略）．解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：-320-50-80+-618-39117-3272-613-39109-327所以2）解法一用带余除法（略）．解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：1-2i1-1-10+1-2i-4-2i-9+8i1-2i-5-2i-9+8i所以4．把表成的方幂和，即表成的形式：1）2）3）注设表成的形式，则就是被除所得的余数，就是被除所得的商式再被12除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到1）解用综合除法进行计算110

4、0000+111111111111+1234123451+136136101+1414101+115所以2）3）略5．求与的最大公因式：1）2）3）1）解用辗转相除法11-1-111-3-4-110111-1-1-1-2-3-1-2-2-1-1-1-1012所以2）3）6．求使1）；2）；3）．1）解用辗转相除法1111-1-2-212-1-4-2110-2011-1-2-211-2-210-201010-2010-210-20由以上计算得因此，且所以．122），．3），．7．设的最大公因式是一个二次多项

5、式，求的值．解　略．8．证明：如果且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式．证明　由于，所以为与的一个公因式．任取与的一个公因式，由已知为与的一个组合，所以．因此，是与的一个最大公因式．9．证明：，（的首项系数为1）．证明因为存在多项式和使，所以，这表明是与的一个组合，又因为，从而，故由第8题结论，是与的一个最大公因式．注意到的首项系数为1，于是．10．如果不全为零，证明：．证明存在多项式和使，因为不全为零，所以，故由消去律得12，所以．11．证明：如果不全为零，且，那么．证明因为不全为零，故，从而由消

6、去律得，所以．12．证明：如果，，那么．证法一用反证法．假设，则，从而有不可约因式，于是，但因为，所以不整除，所以，这与矛盾．因此．证法二由题设知，存在多项式，使得，，两式相乘得，所以．13．设都是多项式，而且求证：证法一反复应用第12题的结果证法二反证法1214．证明：如果，那么．证明由于，所以存在多项式和使，由此可得即于是，，应用第12题的结论可得．注也可以用反证法．15．求下列多项式的公共根：提示用辗转相除法求出于是得两多项式的公共根为16．判别下列多项式有无重因式：1）；2）1）解由于，用辗转相除

7、法可求得，故有重因式，且是它的一个3重因式．2）解由于，用辗转相除法可求得，故无重因式．1217．求值使有重根．解．先用除得余式．当时，．此时，所以，所以1是的3重根．当时，．再用除得余式．故当时，．此时，，所以是的2重根．当且时，，则，此时无重根．综上，当时，有3重根1；当时，有2重根．18．求多项式有重根的条件．解略．19．如果，求．解法一设，则．因为，所以1是的重根，从而1也是的根．于是且，即解得．解法二用除得余式为，因为，所以，故解得．1220．证明：没有重根．证法一设，则．因为，所以．于是没有重

8、根．证法二设，则．假设有重根，则且，从而，得，但不是的根，矛盾．所以没有重根．21．略．22．证明：是的重根的充分必要条件是，而．证明（必要性）设是的重根，从而是的重根，是的重根，…，是的单根，不是的根，于是，而．（充分性）设，而，则是的单根，是的2重根，…，是的重根．23．举例说明断语“如果是的m重根，那么是的m+1重根”是不对的．解取，则．是的m重根，但不是的m+1重根．注：也可以取具体的，如．24．证明：如果，那么．12