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时间:2017-11-12
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1、第五章切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定律第一节与大数定律(13)如何从理论上说明这一现象?这样作的理论依据是什么?问题1频率稳定性的问题事件A发生的频率在相同条件下进行n次重复试验,总是在[0,1]上的一个确定的常数p附近摆动,并且随着试验次数n的增大,越来越稳定地趋于p。问题2在精密测量时要反复测量然后再取平均值?引言:问题1就能得以解决.(1)对于问题1,要说明频率趋于常数p,自然会想到极限概念.如果能证明即对任意的存在正整数N,对于由于,其随机性使不论N取多大的值,请看下面的图示:(3)(2)因
2、此,只能求其次,去求证下面两式成立:为此,先来证明概率论中一个重要的不等式——切比雪夫不等式.或或一.切比雪夫不等式(4)(5)即有定理1(切比雪夫定理)设随机变量的数学期望方差存在,则对任意的有:证:仅就连续型随机变量的情形进行证明.设X的概率密度函数为则有证毕.方差为由切比雪夫不等式有:解:试估计X落在(80,120)内的概率.例1已知随机变量X的数学期望为例2在每次试验中事件A发生的概率为0.5.试用切比解:雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的的次数在450至550次之间的概率.设X表示事
3、件A在1000次独立试验中发生的次数,则:由切比雪夫不等式有:二.大数定律定理2用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.贝努里大数定律说明,在相同条件下独立地重复做n次当n较大时,事件A发生的频率与在每的概率可任意地小(接近于0).因此,在实践中可以通试验,次试验中发生的概率p之差的绝对值大于任意指定正数过反复试验,贝努里大数定律所以由切比雪夫不等式,证:有下式成立两边取极限,得对任意的切比雪夫大数定理定理3:证:由切比雪夫不等式,对任意有:从而:证毕.推论:推论说明,若对同一随机现象进行反复观测,则其平均值与
4、它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数的概率可任意地小.这一理论正好回答了问题2.即在进行精密测量时,为减少测量误差,可以重复测量多次,然后用测量值的平均值来代替实际的真值.当测量次数充分大时,这一平均值与其真值差的绝对值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测量的精度.
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