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《概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章、大数定律和中心极限定理5.1切比雪夫不等式和大数定律5.2中心极限定理15.1切比雪夫不等式和大数定律1、切比雪夫不等式2、大数定律2定理5.1设随机变量X具有数学期望E(X)和方差D(X),则对于任意正数ε,不等式一、切比雪夫(Chebyshev)不等式:(2)可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率.3证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=μ4例1、已知正常男性成人血液中,单位白细胞数(单位:个/mL)平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在520
2、0～9400之间的概率.解设X表示成年男性血液中单位白细胞数,由题意知E(X)=7300,D(X)=7002,由切比雪夫不等式得5注切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件的概率,只是给出一个估计值,但这在实际问题的处理中仍然十分有用.6二、大数定律一、基本概念:a是一个常数,若对于任意正数ε,有设Y1,Y2,…,Yn,…是一个随机变量序列,1、定义5.1:则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a,72、依概率收敛的性质:函数g(x,y)在点(a,b)连续,则8二、常见的三个大数定理:1.定理1（伯努利大数定理）设为n重伯努利实
3、验中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则对任意的ε>0，有9伯努利大数定律是将概率的统计定义用数学式先给定的精度ε的可能性愈来愈小,小到可以表示出来,它表明随着n的增大,事件A发生忽略不计,这就是说频率是依概率收敛到该事件发生的概率.10伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论率难求,可以通过这个定律用事件的频率代替依据.在处理实际问题的时候,如果事件的概概率.例如,估计某产品的不合格率p,可从该种产品中随机抽取n件,当n很大时,这n件产品的不合格品的比例可作为不合格品率p的估计值.11具有相同的数学期望和方差:2、定理5.2(
4、切比雪夫定理的特殊情况):设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且作前n个随机变量的算术平均则对于任意正数ε,有12证由于由切比雪夫不等式,得由概率性质知1314定理5.2表明,当n很大时,随机变量X1,X2,…,Xn当然这种接近是在概率意义下的接近.有定理5.2作保证,当变量数学期望未知的时候,可以选择一些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量,用它们的算术平均数作为数学期望的估计值,选取的随机变量个数越多,估计程度就越好,这在实际问题的处理中是十分有用的.15同一分布,具有数学期望3、定理5.3(辛钦定理):设随机变量X1
5、,X2,…,Xn,…相互独立,服从则对于任意正数ε,有16X1,X2,…,Xn…相互独立,服从同一分布且具有数伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.在实际问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要.事实上,由辛钦定理可知,如果随机变量学期望μ,则前n个随机变量的算术平均值依概率收敛于它们的数学期望μ.17
