函数极值的几种求法-数学专业毕业论文.doc

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1、函数极值的几种求法毕业论文目录摘要IAbstractII第1章绪论11.1研究函数极值的意义11.2极值的概述1第2章一元函数极值的求解方法22.1一元函数极值定义22.2一元函数极值的充分必要条件22.2.1一元函数极值的必要条件22.2.2极值的第一充分条件22.2.3极值的第二充分条件32.2.4极值的第三充分条件42.3一元函数极值的求解方法4第3章二元函数极值的求解方法73.1二元函数极值定义73.2二元函数极值的充分必要条件73.2.1二元函数极值必要条件73.2.2二元函数极值充分条件83.3二元函数极值的求法83.4条件极值93.4.1代入法求极值93.4.2乘数法求极值

2、10第4章多元函数极值的求解方法124.1多元函数极值（）定义124.2多元函数极值的充分必要条件124.2.1梯度124.2.2矩阵124.2.3多元函数极值必要条件124.2.4多元函数极值充分条件134.3多元函数极值的求法144.3.1多元函数的无条件极值求解144.4多元函数的条件极值求解154.4.1代入法求极值154.4.2乘数法求极值164.4.3矩阵法求极值194.4.4梯度法求极值244.4.5二次方程判别式法求极值264.4.6标准量代换法27结束语29致谢30参考文献31附录i附录一：外文文献i附录二：外文译文ix附录三：任务书xvii附录四：开题报告xviii第

3、1章绪论1.1研究函数极值的意义在现实科学生产实际中，存在着很多极值问题需要去解决，函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像代入法，梯度法，利用矩阵解决函数极值，利用乘数法解决函数的极值以及其他多种方法判别极值是否存在等等。这些诸多理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，比如在工农业生产、经济管理和经济核算中，解决在一定条件下怎么使投入最小，产出最多，效益最高等问题。在生活中也经常会求利润最大化、用料最省、效率最高等问题。这些算法的提出与改进，使得许多问题很便利的得以解

4、决，具有非常重要的现实意义。1.2极值的概述如果一个函数在一点的某一邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。极值的概念来自数学应用中的最大值与最小值问题。其定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定有它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果最大值或最小值不是边界点，那么就一定是内点，因而是极值点。函数极值涉及的函数量比较多，尤其是以多元函数为主，因此我们在求解函数极值的过程中经常会遇到某些形式上比

5、较复杂的函数的极值问题，同时我们在解题的过程当中也常常会遇到一些具有条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时我们必须考虑其限制条件，那么对于我们而言，什么时候什么地方以及如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。综上可知，我们对函数极值，不管是一元函数极值，还是二元或多元函数极值的条件极值与无条件极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要的。第2章一元函数极值的求解方法2.1一元函数极值定义定义1设函数在的某个邻域有定义，对于该邻域内任一异于的点，如果对该邻域的所有的点,(1)都有，则称是函数的一个极大值，点为函数的一个极大值点;(2)都有，则称是函数的一个极小值，点为函

6、数的一个极小值点.极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.2.2一元函数极值的充分必要条件函数的极值不仅仅在实际问题中占有非常重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征.2.2.1一元函数极值的必要条件费马定理[1]告诉我们，若函数在点可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.下面讨论充分条件.2.2.2极值的第一充分条件定理1设在点处连续，在某一邻域内可导.①若当时，当时，则函数在点取得极小值.②若当时，当时，则函数在点取得极大值.③如果在点的邻域内，不变号，则函数在点没有极值，即不是的极值点.证：由单调函数的增减性充要条件，在区间I上可导，在I

7、上增（减）的充要条件是则对于①：在内递减，在内递增，又由在处连续，故对任意，恒有即在处取得极小值.同理，对于②，在处取得极大值；对于③，由于在点的邻域内不变号，故对任意，不能恒有（或），即不能判定在处取得极小值（或极大值），也就是说函数在点没有极值，不是的极值点.若函数是二阶可导函数，则有如下班别极值定理.2.2.3极值的第二充分条件定理2[2]设在的某一邻域内一阶可导，在处二阶可导，且,.①若，则函数在点取得极大值.②若，则函数在