拉格朗日余项估计(网络版)

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1、本科毕业论文(设计)(2010届)论文题目：拉格朗日余项估计指导老师：学生姓名：学号：院（系）：数学学院专业：数学与应用数学毕业时间：2010年6月20摘要利用经典steffensen不等式一般形式给出泰勒公式中拉格朗日型余项的一种估计。研究了拉格朗日型余项估计中的估计问题，获得了它的一个渐进估计。关键词泰勒公式,steffensen不等式，拉格朗日型余项,渐进估计20AbstractThisarticlegiveaestimateofremainderofLagrangebyusingsteffenseninequality.Weal

2、sostudiestheestimateofintheremainderofLagrangeandobtainsit’sasymptoticestimation。KeywordsTaylor’sformula,remainderofLagrange,steffenseninequality，asymptoticestimation20拉格朗日余项估计引言对于一些比较复杂的函数，为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达。多项式函数是最为简单的一类函数，它只要对自变量进行有限次的加，减，乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经

3、常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近。英国数学家泰勒在这方面做出了不朽的贡献。其研究结果表明：具有直到阶导数的函数在一个点的领域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达。泰勒公式如果函数在处可微，我们有如果实际需要计较到的二阶无穷小，那么上述公式就没有任何意义。因此自然会提出这样的问题：在存在的条件下，能不能用的一个二次多项式来近似，并使得其误差当时是比高级的无穷小？把这一要求用公式写出来，就是其中是三个常数。如果这个要求能被满足，我们问这三常数和该如何确定？首先，令得出在这样的条件下，把改写为

4、在上式双方令，由于在可导，得20为了求出，注意到对上式右边用洛必达法则，得由于存在，可见到此为止，我们证明了只有唯一的一个二次多项式，即才能满足的要求。是不是多项式确实满足式的要求呢？答案是肯定的，这事因为使用一次洛必达法则便得出，所以式成立。定义设函数在点有直到阶的导数，这里是任意给定的正整数。令并称之为在点处的次泰勒（Taylor）多项式，的各项系数称为泰勒系数。定理1若函数在点存在直至阶导数，则有20，即+。证设现在只要证易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值。即因此，可得到，并易知因为存在，所以在点的某领域内存

5、在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到===0定理所证的式称为函数在点处的泰勒公式，20称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项。所以式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。泰勒公式在求极限中的作用例1设：，且证明：证按题设，我们有其中。又因存在，故比较上面两式，得从而有由于故由上式知存在，并且例2求极限20解先分解分母当时，与为等价无穷小，与为等价无穷小，而。因此原极限等于但是由此知原极限等于例1求极限解记取对数得利用等式得根据可得20于是由此即得因而注1若在点附近满足，，这时，并不意味着必定就是的泰勒多项式。例如

6、=其中为狄利克雷函数。不难知道，在处除了外不再存在其他任何阶导数。因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式，但因即=，所以若取20时，对任何恒成立。注2满足式要求（即带有佩亚诺型误差）的次逼近多项式是唯一的。综合定理1和上述注2，若函数满足定理1的条件时，满足式要求的逼近多项式只可能是的泰勒多项式。上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶的无穷小量。现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。定理2若函数在上存在直至阶的连续

7、导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，至少存在一点使得+。证作辅助函数。所要证明的式即为或不妨设，则与在上连续，在内可导，且20又因，所以由柯西中值定理得，其中式同样称为泰勒公式，它的余项为，，称为拉格朗日型余项。所以式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。注意到时，式即为拉格朗日型中值公式所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广。当=0时，得到泰勒公式该式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式．例4若函数在上连续,在上2阶可导,则,必使得.证:利用带Lagrange余项的Taylor定理,则有,.20故.注意到介于和之间,再

8、由导函数的介值定理便知,使得.线性插值的误差公式有了这种带有定量性质的余项之后，我们就可以在大范围内（而不只是一个给定点的近旁）来研究用多项式逼近函数的误差。特别是，当我们知道在这个范围内有界并且能找到的一