高等代数课程试卷及参考答案

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1、高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题（一）一、计算（20分）1）2）二、证明：（20分）1）若向量组线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组中部分向量线性相关，则向量组必线性相关三、（15分）已知A为n阶方阵为A的伴随阵，则

2、A

3、=0，的秩为1或0。四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n五、（15分）求基础解系六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的七、（10分）求证△ABC的正弦正定理答案(一)一、1）-1262）二、证明：1）线性无关，是其部分向量组，若存在不全为0的数

4、使则取，则，则可知线性相关矛盾，所以必线性无关。2）已知是向量组中中的部分向量，且线性相关即不全为0，使，取，于是有不全为0的，使即线性相关。三、证明：由于

5、A

6、=0，A的秩≤n-11）若A的秩为n-1，则中的各元素为A的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）=1，由此的秩为1。2）若A的秩＜n-1，则中的所有A的n-1阶子式全为0，即=0，的秩为0。四、证明：∵对任意n级方阵A与B，有rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）又∵rank（A－I）=rank[

7、－（A－I）]=rank（I－A）∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）=rank（I）=n≤rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）五、取基础解系六、证明：设是正交向量组，且不含空向量。若有则且即线性无关七、证明：如图：ABC代数与解析几何试题（二）一、计算：（20分）1）2）二、（20分）若一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余n-1个向量的线性组合。三、（10分）若S1与S2是线性空间V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，使四、（10分）求基础解系五、（1

8、5分）证明：含有n个未知数的n+1方程的方程组有解的必要条件是行列式但这一条件不充分，试举一反例。六、（15分）设V是n维欧氏空间，求的维数为n-1。七、（10分）设△ABC的三条中线的交点为O，求证：答案(二)一、1）-602）1二、证明：若相关，Nwh不全为0的数使设ki不等0，于是若有一个向量表示其余之向量n-1个向量的组合有三、证明：设，则，则否则有矛盾，若有矛盾。四、解：五、解：若有解：则把系数阵各列看作列向量有：，即线性相关，于是有D=0，反之不成立有但无解。六、证明：非空间且有（）是子空间。把扩充为V的一组基，把这组基正交化

9、，有，，即的维数为n-1七、证明：如图A已知O是△ABC三条中线的交点，由向量加法有EFOCBD又又代数与解析几何试题（三）一、计算：（20分）1）2）二、（10分）若一个不含零向量的向量组成线性相关，则至少有两个向量是其余向量的线性组合。三、（20分）若是线性空间V（F）的真子空间，求证到存在一个向量，使四、（15分）求证：1）A2=A，求证：P=2A－I为对合阵2）A为2n+1阶方阵，且A′=－A，求证

10、A

11、=0五、（10分）求基础解系六、（10分）若A为n阶方阵，若对任意的一列矩阵X，均有AX=0，求证A为零阵七、（15分）设是n维

12、欧氏空间V的标准正交基，是V中k个向量，若两两正交，则必有答案(三)一、1）1602）二、证明：线性相关，且不含0向量，则有一组不全为0的数使，因为至少有一个有若其余的n一个系数全为0，则矛盾，故必有至少有一个于是即至少有两个向量是其余向量的线性结合。三、证明：用归纳法，当命题成立（由习题4）解设为：的命题，当时，由归纳假定存在若则命题成立。若，则由为真子空间，有，此时有k，使，否则，则同时，对不同的不含有与同属于一个反之，若有中的所有，于是这样的k，有四、证明：1）P为对合阵2）A为2n+1阶方阵，且有又即五、解：令有六、证明：∵A对任

13、意一列矩阵X均有AX=0，取于是，，则A=0七、设是维欧氏空间V的标准正交基是V中k个向量，若两两正交，则必有证明：又又两两正交，，有于是代数与解析几何试题（四）一、计算（20分）1）2）二、（15分）证明：向量组线性相关充分且必要条件是至少有一个向量是其它n个向量的线性组合。三、（10分）若S1与S2是线性空间V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，使四、（20分）已知A为n阶阵，为的伴随时，求证的秩五、（10分）求基础解系六、设是n维欧氏空间V的标准正交基，是V中k个向量，若有，则两两正交七、（10分）用向量的数积运算法则证明：

14、三角形的余弦定理：答案(四)一、1）-1262）6（n-3）！二、证明：若线性相关，则存在个不全为0的数使，不妨设，于是有若有一个向量可表成其它-1个向量的线性组合三、证明：S1，S2是V的真