数学竞赛教案讲义(6)——三角函数

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1、第六章三角函数一、基础知识定义1角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值

2、α

3、=,其中r是圆的半径。定义3三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为

4、r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,余切函数cotα=,正割函数secα=,余割函数cscα=定理1同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα=,sinα=,cosα=;商数关系:tanα=;乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;平方关系:sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)

5、sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;(Ⅲ)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;(Ⅳ)sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。定理3正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2.奇偶数.有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时,y取

6、最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k,0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里k∈Z.定理4余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区

7、间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。定理6两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=定理7和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β

8、)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=定理9半角公式:sin=,cos=,tan==定理10万能公式:,,定理11辅助角公式:如果a,b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b)的一个角为β,则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β)

9、.定理12正弦定理:在任意△ABC中有,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。定理13余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。定理14图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横

10、坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(,>0)(

11、A

12、叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1,1]),

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