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《高中数学竞赛讲义(6)三角函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学竞赛讲义（六）──三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值
2、α
3、=,其中r是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin
4、α=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(
5、-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间15上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈
6、Z.定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式
7、：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=定理7 和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcos
8、α,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, 15tan2α=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan==定理10 万能公式:,,定理11 辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理
9、14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)15的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,>0)(
10、A
11、叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arc
