[数学]第12章函数与极限

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1、教学内容批注第一章函数§1.1集合一、集合1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aÎM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A={a1,a2,×××,an},M={x

2、x具有性质P}.例如M={(x,y)

3、x,y为实数,x2+y2=1}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N={0

4、,1,2,×××,n,×××}.N+={1,2,×××,n,×××}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若xÎA,则必有xÎB,则称A是B的子集,记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA.如果集合A与集合B互为子集,AÌB且BÌA,则称集合A与集合B相等,记作A=B.若AÌB且A¹B,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作Æ.规定空

5、集是任何集合的子集.教学内容批注2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AÈB,即AÈB={x

6、xÎA或xÎB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AÇB,即AÇB={x

7、xÎA且xÎB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作AB,即AB={x

8、xÎA且xÏB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称

9、集合I为全集或基本集.称IA为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律AÈB=BÈA,AÇB=BÇA;(2)结合律(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC),(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC);(3)分配律(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC),(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC);(4)对偶律(AÈB)C=ACÇBC,(AÇB)C=ACÈBC.xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎAC且xÎBCÛxÎACÇBC,所以(AÈB)C=ACÇBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合

10、,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A´B,即A´B={(x,y)

11、xÎA且yÎB}.例如,R´R={(x,y)

12、xÎR且yÎR}即为xOy面上全体点的集合,R´R常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设a

13、a

14、a

15、a£x£b}称为闭区间,[a,b)={x

16、a£x

17、a

18、£b}称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b-a称为区间的长度无限区间:[a,+¥)={x

19、a£x},(-¥,b]={x

20、x

21、

22、x

23、<+¥}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设d是一正数,则称开区间(a-d,a+d)为点a的d邻域,记作U(a,d),即U(a,d)={x

24、a-d

25、

26、x-a

27、

28、0<

29、x-

30、a

31、

32、xÎX}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域Df=X

33、;集合Y,即值域的范围:RfÌY;对应法则f,使对每个xÎX,有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个xÎX,元素x的像y是唯一的;而对每个yÎRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfÌY,不一定Rf=Y.教学内容批注2.逆