类比法在数学解题中的应用

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1、长沙第七中孙贤忠在数学解题中类比法的应用长沙第七中学孙贤忠“类比是一个伟大的引路人”（波利亚）。“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”（康德）。所谓类比（即类比推理）就是依据两个对象的已知相似性，有可能把一个（数学）对象的特殊知识转移到另一个数学对象上去，从而获得对后一个对象的新知识。在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，“柳暗花明又一村”。例如：已知：x,y,z均为正实数求证：分析：本题好像无从着手，但我

2、们从整体上观察结论知：“三角形两边之和大于第三边”与其相似，而被开方式与余弦定理相类比，从而设法构造一个三角形，用几何知识证明。证明：作,如图，AOB=BOC=COA=令OA=x,OB=y,OC=z由余弦定理可得:第页长沙第七中孙贤忠AB=AC=BC=AB+AC>BC故原式得证。可见，类比在数学解题中有着十分重要的作用。类比推理可用如下图式描述：类比根据其中分别与相同或相似，推论：B类对象也具有与d相同或相似的属性d'。我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的

3、凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确的（利用面积法证明）。常用的类比有：1、平面与空间的类比把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。如，关于勾股定理，可有几个类比：第页长沙第七中孙贤忠勾股定理：在直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形中，有类比1：长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d的长方体中，有类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对

4、角线长为d，则有类比3：四面体交于一个顶点O的三条棱两两互相垂直，与O相邻的三个面的面积分别为A，B，C，与O相对的面的面积为D，则有：2、数与形的类比在数学研究中，数与形的类比经常在相反的方向上得到应用。即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。例：已知求k的值。分析：类比两直线l1:ax+by+c=0与l2：（b+c）x+(c+a)y+(a+b)=0重合则有（a+b+c）(x+y)+(a+b+c)=0第页长沙第七中孙贤忠又例：k为何值时，方程组①有一组解？②两组解？

5、③无解？ 利用数与形类比，解法直观，简单明了。方程组有一组解，即直线与半圆只有一个交点；有二组解，即直线与半圆有两个交点；无解，即直线与半圆无交点。所以，当时有两解；当时有一组解；当时无解。 再例：过正方形ABCD的顶点C作任一直线与AB、AD的延长线分别与E、F，求证AE+AF4AB分析：原结论稍加变形为（AE+AF）24AB（AE+AF）第页长沙第七中孙贤忠 类比二次方程判别式，构造一元二次方程。证：如图，设AB=，AE=x,AF=y,即∴xy-a(x+y)=0,又设x+y=m,则y=m-x.代入xy-a(x+

6、y)=0,得:x2-mx+ma=0∵x为正实数，∴△=m2-4ma0，即m4a∴AE+AF4AB 3、解题方法上的类比例：若求证：2y=x+z(即x,y,z成等差数列)分析：通过类比，类比为一元二次方程的根与系数的关系来解，构造一元二次方程第页长沙第七中孙贤忠因为1是方程的解，所以方程有两相等实根，都为1。由韦达定理，两根之积为4、有限与无限的类比例：因为圆可看成是正多边形当边数趋于无穷时的极限情形。因此，依据“三角形的面积等于底与高的乘积的一半”的结论，可证：正多边形的面积等于周长与边心距乘积的一半。从而类比出：

7、圆的面积等于其周长与半径乘积的一半，即，显然正确。当然，类比结果的正确性必须经严格的逻辑证明，“未加证明的结论（猜想）与真理是有本质区别的”。如“平面上，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，类推到空间，命题显然不成立。 二○○七年二月十八日星期日第页