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1、浅谈类比法在数学解题中的应用•中学数学论文浅谈类比法在数学解题中的应用严诚(郑梁梅高级中学，江苏淮安223499)摘要:类比就是一种相似比较,类比推理就是根据相关知识的〃相似性〃进行联想与创新。从而达到最终解题与培养能力的目的。类比方法也是高中数学解题的重要方法之一。在高中数学解题中要运用类比方法往往就需要根据脑海中的〃似曾相识"加上一点想象力和创新精神，从而达到解决新问题获得新知识的目的。关键词:类比推理；相似；创新中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-03-
2、0062-01德国著名哲学家康德说：”每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往能指引我们前进”o由此可见”类比推理运用的得当有时可以让学生获得事半功倍的效果。所谓类比推理是由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些特征，推出另_类对象也具有这些特征的推理。从而达到解决新问题获得新知识的目的。在具体实施过程中，其关键就是找到两类不同对象之间的相似特征。然后，根据这一类对象的已知特点，去猜测或揣摩甚至是想象另_类对象可能的特征，从而得到一个猜想,最后检验这个猜想。在数学解题过程中，当我们的
3、思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。一、非同构类比即从对象的某些属性相同推出它们的其它属性相同，例如：设平甌向童叫.a”a*的和为叫+a,+o,0,如果半ifi向fi6t,6・・6；满足低1=2a•且叫顺时针旋转M后与力同向■其中»=1,2,3则下列命题中正确的为:••••••・・([)-6]+b.+6=026t-6.+6.=0■•••(3+/八+bK=0餅題点拔:类比涉及三角形重心的向蚩的等式ON+on+0(：=0•在这31•可假设山=a
4、^OB=a：,0C二“••则点0&^ABC的审心•将三个向最按照已知进行旋转JS•可知对应点〃仍为新三角形的重心■所以选③心+6：+6：=0.二、同构类比这是类比中的一沖极端形式同构的意义是一个集合」/和V之间的——对应/是-个对卜代数运篇〃和〃來讲的1/和A之间的同构对应•假如在/之F・a「"・6uN・只要有。厶」fh，其中deN•就有a()b一a()bc如果在tf、N之间•对代数运算0和0,1/和.V同构•记为VsNc例如•坐标平面上有序实数对(.y)所组成的集合X与平面上向力的集合『的对应/：
5、(乂・y)f+yi・那么A主＞在中学数学中•最常见的同构类比就是数形结合、因数与图像•代数与解析几何等。例1：求函数y=•//■加+-/x'—4x+!3Miti小值分析：从)=(a—1)*(0—2)/{a—2)■+(()—3)-_先观察所求算式的特征,根据这个特征去联想某些数学公式或是自己曾经做过有相似特征的题目，从而找岀某种相似性。通过观察与比较可以联想到与两点间的距离公式好相近，推出得几何意义上的点P(x,0)到点A(1,2)与点B(2z3)距离之和的最小值，最终实现了同构类比转化。根据几何定理
6、，
7、PA
8、+
9、PB
10、的最小值为A关于x轴对称点A'(1,2)与点B的距离，••'■“=冷创=』(1・2)‘+(・2・3)‘二*726例2:巳知決』山均为正实数求证：x*i)+)+.i4v-+二>vy+j:+二分析：本题好像无从着手，但我们从整体上观察结论可以发现很多的相似性:A一时余弦定理，二是〃三角形两边之和大于第三边〃与其相似，但由于所要证明的结论是大于而且在被开方里,心然会导致证明无法进行下去。所以只能应该把两个相似特征结合区寻找突破口，再根据所想去创新与联想，从而达到解题与获得新知识的目的。
11、本体就可以根据这些特征设法构造一■个三角形，把这些所涉及到的项式放到三角形里，用几何知识很轻易的得到证明。证明：作ZUBC■如图.乙AOB=乙BOC=厶COA=12()。令()=由余弦定理可得:AB=d、•+“+厂・•・”<+」(；：>〃C■故原式附证可见,类比在数学解题中有着十分重要的作用。其关键是看岀某种相似性。三、新旧知识的类比这也是我们在学习与解题中遇到最多的类比内容,这一点对我们一线教师来说特别重要，因为在第一轮讲授新知识的时候，我们要经常用到此种方法,从而让我们在教授新知识时会更容易收
12、到意想不到的教学效果。因此我们不要放弃旧的知识，而要经常联系旧知识,以旧知识为基础,从旧知识出发，采取循循渐进的引导方式创造条件引导学生进行类比，发现某种相似的特征，进而找到问题的突破口,这样做不仅扩展了学生的思路,而且养成了学生进行类比推理的习惯。例如：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q丄长方体对角线长为d,则有。与此题在在画出图形时，由于是长方体中，再加上平方就应该养成潜意识里想到勾股定理。从而在此前提下进行一些探讨、联想与分析。达到用很熟悉的
