高考数学复习点拨求数列通项的初等方法新人教a版

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1、求数列通项的几种方法近年的高考中出现了给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧,以供教学参考.1、多式相加法数列有形如an+1=an+f(n)的解析式,而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的,可用多式相加法求得an.例1.在数列{an}中,a1=-1,an+1=an+2n,求an(n≥2).解:由条件,a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……,an=an-1+n(n-1),以上n-1个式子相加化简得:an

2、=a1+n(n-1)=n2-n-1.2、多式相乘法数列有形如an=f(n)·an-1的解析关系,而f(1)·f(2)……f(n)的积是可求的,可用多式相乘法求得an.例2.在数列{an}中,≥2),求.解:由条件an-1,这n-1个式子相乘化简得:.3、待定系数法数列有形如、b为常数)的线性递推关系,可用待定系数法求得an.例3.在数列{an}中,求.解:在的两边同加待定数,得+(-1)/3),令得数列{是公比为3的等比数列,用心爱心专心∴an=4、分解因式法当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式

3、,再用其它方法求得an.例4.已知数列满足(n∈),且有条件≥2).解:由得:对n∈,再由待定系数法得:∴5、求差法数列有形如的关系(非递推关系),可考虑用求差后,再用其它初等方法求得例5.设是正数组成的数列,其前项和为,并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项:(1)写出数列的前3项;(2)求数列的通项公式.出题者的意图是:通过(1)问求出数列前3项再猜想出通项公式;(2)再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.解:(1)略用心爱心专心(2)由条件,得即①②①-②得,即分解因式得对于∈>

4、0,∴∴是公差为4的等差数列,6、倒数法数列有形如的关系,可在等式两边同乘以先求出例6.设数列满足求解:原条件变形为两边同乘以得.∵用心爱心专心∴7、复合数列构成等差、等比数列法数列有形如的关系,可把复合数列化为等差数列或等比数列,再用其它初等方法求得例7.在数列中,求解:由条件∴∴再用多式相加法可得:8、循环法数列有形如的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时可考虑构成循环关系而求出例8.在数列中,解:由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6×333,∴9、开方法对有些数列,可先求再求例9.有两个数列它们的每一

5、项都是正整数,且对任意自然数用心爱心专心、、成等差数列,、、成等比数列,2bn=an+an+1,①a2n+1=bn·bn+1.②解:由条件有:由②式得:③④把③、④代入①得:,变形得).∵>0,∴-.∴是等差数列.因∴故用心爱心专心

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