两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系

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1、两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。设两圆，，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为。现在我想探讨的问题是：所得直线在两圆的5种位置关系下的几何意义以及已知两圆、的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：一、预备知识：圆幂定理:1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线

2、段长的比例中项。3.割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。4．圆幂定理推论：设圆半径为r，圆心为O，若P在圆外，则；若P在圆内，。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半

3、径的平方差的绝对值。这个值称为点P到圆O的幂。（若P在圆外，这个值就是切线长的平方）2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减总是得到一条直线：因由此可知：直线是到两圆幂相等的点的集合。-6-两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合）三、定理：根轴与两圆连心线垂直圆的圆心坐标是，圆的圆心坐标是。1。当时，两圆非同心，则得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线的斜率为零，故直线与过两圆心的直线垂直；2。当时，两圆非同心，

4、则得过两圆心的直线的斜率为零，而直线的斜率不存在，故直线与过两圆心的直线垂直；3。当且时，得过两圆心的直线的斜率是，而直线的斜率是，故直线与过两圆心的直线垂直。四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线设、是两圆的交点，则有和成立，即满足方程，即；同理也满足它，所以直线表示两圆相交弦所在直线。五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线1.设是两圆的切点，则有和成立，即满足方程，即；2.又由三知根轴与两圆连心线垂直由1.2.知，根轴的几何意义就是公切线六、两圆相离根轴的几何意义与位置两圆

5、相离根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹），但是，结论比较抽象，具体直线在哪里？由三定理知根轴与两圆连心线垂直，因此只需探求根轴与两圆连心所在直线垂直的垂足位置即可-6-设两圆，，设两圆的圆心分别为半径为，以为圆心,为半径作圆,以为圆心,为半径作圆,满足，

6、那么,新得到的两圆是外切的；再令显然,原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样,为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以,只需解方程组:解得:内分所称比内分点又=；同理；故K在两圆连心线上两圆

7、之间的线段上且时，垂足在圆心与线段中点连线的延长线上；时，垂足在圆心与线段中点连线的延长线上。由以上可知：垂足的求法与位置已明朗化，抽象的直线的位置也已明朗化。举例如下：设，-6-直线斜率为1，所以所求根轴方程为：此结果验证与直接相减结果一致。七、两圆内含根轴的几何意义与位置同样两圆内含根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹）结论同样抽象，具体直线在哪里？根轴与两圆连心线垂直，仍需探求根轴与两圆连心所在直线垂直的垂足的位置。圆方程、圆心、半径设法同上，同样以为圆心,为半

8、径作圆,以为圆心,为半径作圆,满足，

9、那么,新得到的两圆是内切的；再令显然,原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以，只需解方程组不妨设（既）时：方程组等价于外分所称比-6-）；又故垂足在圆心的延长线上且在圆外部；由以上可知：垂足的求法与位置已明朗化，抽象的直线的位置也已明朗化。举例如下：设，，直线斜率为1，所以所求根轴方程为：，此结果验证与直接相减结果一致。八、结论：1.根轴与两圆连心线垂直2.两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直

10、线3.两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线4.两圆相离根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直，它的垂足K内分所称比5.两圆内含根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直，它的垂足外分所称比由以上知：所得直线在两圆的5种位置关系下抽象的几何意义被直观确定。-6-www.ks5u.com-6-