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《多项分布的数学期望_协方差阵_特征函数及母函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数陈世录,刘瑞元(青海师范大学数学系,青海西宁810008)摘要:本文讨论了多元分布的数学期望、协方差阵,特征函数及母函数,得到了一系列应用公式.关键词:多项分布;协方差阵;特征函数文章编号:1001-7542(2003)02-0010-04中图分类号:O211.2文献标识码:A1引言与预备知识关于多项分布至今未见有文献对其进行较深入讨论,本文对多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数进行了研究,得到一些便于应用的公式.定义1.1[1]若r维随机变量(x1,P(x1=n1,,xr)的概率分布为n!nn,xr=nr
2、)=n(1.1)!p11prr!nr1rr其中诸ni为非负整数,且∑ni=n,0≤pi≤1,i=1,,r,∑pi=1,则称(x1,,xr)服从多项分布,i=1i=1记为M(n,p1,,pr).引理1.1[1]设r维随机变量(x1,边沿分布为,xr)服从多项分布M(n1,p1,,pr),则它关于第i个分量的n!nn-nP(xi=ni)=n!pii(1-pi)i,i=1,,r.(1.2)!(n-ni)i引理1.2[2]设随机变量x服从二项分布b(n,p),则x的数学期望E(x)=np,x的方差Var(x)=npq.2多项分布的数学期望与协方差阵定理2.1设r维随机变
3、量(x1,,xr)服从多项分布M(n,p1,,pr),则其数学期望E(x1,,r,的方差为xr)=(np1,,npr)(2.1)随机变量xi,i=1,bii=Var(xi)=npiqi,i=1,,r(2.2)其中qi=1-pi.证明由设r维随机变量(x1,,xr)服从多项分布M(n,p1,,pr),又由引理1.1知第i个分量xi,i=1,,r,服从二项分布b(n,pi),又由引理1.2知xi的数学期望与方差分别为E(xi)=npi,Var(xi)=npiqi,i=1,(2.3)r,于是随机向量(x1,xr)的数学期望E(x1,xr)=(np1,,npr).第i个
4、分量的方差收稿日期:2002-10-28作者简介:陈世录(1947-),男(汉族),重庆人,青海师范大学副教授.第2期陈世录,刘瑞元:多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数11bii=Var(xi)=npiqi,i=1,,r.证毕.引理2.1设r维随机变量(x1,xr)服从多项分布M(n,p1,1≤i≤j≤r的边沿分布为,pr),则它关于两个分量(xi,xj),n!nnn-n-nP(xi=ni,xi=nj)=n!piipjj(1-pi-pj)(2.4)ij.!n!(n-n-nj)ijixi=ni,xj=nj,∑xs=n-ni-nj证明P(xi=ni,xj
5、=nj)=Ps≠i,jn!p1npnpnpn=∑1ijrijrn1!ni!nj!nr!∑s≠i,jn=n-n-nsij(n-ni-nj)!n!pnipn=∑jijnj!(n-ni-nj)!ni!×pnn1!n(i-1)!n(i+1)!n(j-1)!n(j+1)!nr!∑s≠jn=n-n-nsijpnpnpnpnpn11ii-+1ii++1jj--1jj++1rrn!+p)n-n-npnipn(p+=+p+p+p+p+jijij1i-1i+1j-1j+1rnj!(n-n!ni-nj)!ni!pnipn(1-p-p)n-n-n.证毕.=jijijijnj!(n-ni
6、-nj)!ni!定理2.2设r维随机变量(x1,xr)服从多项分布M(n,p1,pr),则(x1,xr)的协方差阵B=r×r(bij),其中bii=npiqi,bij=-npipj(i≠j).证明xi与xj的协方差(215)bij=cov(xi,xj)=E(xixj)-E(xi)E(xj)其中E(xi)=npi,E(xj)=npj.nn!p)n-n-npnirn(1-p-E(xixj)=∑ninjjijijijni!nj!(n-ni-nj)!i,j=1n(n-2)!pni-1pnp)n-n-n=n(n-1)pipj∑(1-p-j-1ijijiji,j=1(ni-
7、1)!(nj-1)!(n-ni-nj)!=n(n-1)pipj.将E(xi),E(xj),E(xixi)的值代入(2.5)式,得bij=cov(xi,xj)=n(n-1)pipj-npi·npj=-npipj,(i≠j).于是(x1,,xr)的协方差矩阵B=(bij)r×r其中bii=npiqi,bij=-npipj,(i≠j).证毕.3多项分布的特征函数定理3.1设r维随机变量(x1,,xr)服从多项分布M(n,p1,,pr),则(x1,,xr)的特征函数(3.1),tr)=(p1eit1++preitr)n.Φ(t1,证明由特征函数定义知(x1,,xr)的特
8、征函数(t1x1++tr
