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时间:2018-07-28
《近代概率论基础第四章作业解答(参考)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章作业题解答参考4.解:(1)按照示性函数的定义,示性函数为一随机变量且对任意的事件,有。因此,,,,故对任意的,有(2)由(1)可知注意到和,对上式取数学期望可知:。(3)用记“五个队中至少有一个对全胜”,用记“五个队中至少有一个对全败”,则要求的概率为:。5.解:设,其中,则,由试验独立得诸相互独立,由此得。8.解:,。9、证:。10、证:由期望存在得,故,以此代入的计算式即得。特别地,如果只取非负值,则当时,有,故。另证:因为对任意的,有故注:第2个等号用到期望和积分交换次序,这是根据Fubini定理。13.证:的联合
2、密度为,∴(利用密度函数的积分值为1,减a再加a)(在前一积分中交换积分次序,在后一积分中交换x与y的记号).另证:设,则。而和的分布函数均为:,又因为相互独立,故的分布函数应为:,于是。14.解:设的分布函数为,根据数学期望的定义,注意到的单调非降性,可知:对任意的,有最后由可知结论成立。15.解:令,由题意知:,而,故由数学期望的线性性质可知:,于是结论成立。16.解:用记袋中的白球数,则。由全概公式知所求的的概率为22.解:因,,可设拉格朗日函数为:利用拉格朗日乘数法可解得:这即为所求。24.解:不妨设的密度函数为,则。注
3、意到,于是(或者:)而因此。又,于是,故与不相关。但是,对任意的,有即与不相互独立。27.解:不妨设的分布律及联合分布律分别为:,;。那么;如果不相关,则有,即。由上式可解得:于是与相互独立。43.证明:充分性的证明见课件,下面证明必要性。用表示“实验次数为的伯努利实验中的成功的次数”;用表示“实验次数为的伯努利实验中的失败的次数”,则。(1)再令,,则有,,且的母函数分别为:和,其中。我们设的母函数为,则由(4.4.13)式可知,和的母函数分别为:和。这样,由(1)可知,对任意的,有:,于是对任意的,有这样,类似于引理2.4.
4、1的证明可知:,其中为一常数。最后如果我们令,则有,于是实验次数服从参数为的泊松分布。44.证明:(1)见课件《母函数》那一节。(2)不做要求。47.证明:“充分性”:设分布函数的特征函数为,且为实的偶函数。根据逆转公式,设为的连续点,则有我们让沿着的连续点趋向于,则有,对的一切连续点,有。如果不是的连续点,则存在的连续点列,使得,这样对每一个,,最后在上式中令,考虑到分布函数的左连续性即得。“必要性”:设随机变量的分布函数满足,且的特征函数为。由特征函数的定义的分布函数为,于是的特征函数为。而由P226性质6可知:,于是对任意
5、的,有。又因为,因此为实的偶函数。50.解:随机变量的密度函数为,于是和的特征函数均为而的密度函数为:,因此的特征函数为故。但是因为,所以与线性相关,故显然不独立。注:如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。52.解:因为相互独立且服从,因此也相互独立,且的密度函数为:,于是的密度函数为:即服从自由度为的分布。而自由度为的分布的特征函数为:因此的特征函数为:,又因为相互独立,因此的特征函数为:,即服从自由度为的分布。设服从自由度为的分布,服从自由度为的分布,且与相互独立。因为,,因此分布关于自由度这个参数具有再生性
6、。
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