初中数学直线形中的常用公理和定理

初中数学直线形中的常用公理和定理

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1、直线形中的常用公理和定理1.定理:在连接两点的所有线中,线段最短(线段AB的长度叫做A和B两点之间的距离)。2.特例:直线上作出一点P,使点P到直线外两点A和B的距离之和最短∵A'和A关于直线对称∴A'P=AP∵A'P+BP最短∴AP+BP最短3.定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。PA叫做点到直线BC的距离4.定理:线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等∵PO⊥AB,AO=OB∴PA=PB5.定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。∵PA=PB∴点P在

2、AB的垂直平分线上166.特例:在直线上作出一点M,使点M到直线外两点A和B的距离相等∵PO⊥AB,AO=OB∴PA=PB7.定义:两条平行线中,过一条直线上一点作另一条直线的垂线,两垂足之间线段的长叫做这两条直线的距离与的距离是:AB的长8.定义:两条直线所成的角等于90°时,叫做这两条直线互相垂直∵∠AOD=90°∴AB⊥CD9.公理:两直线平行同位角相等(公理和定义可以用来证明定理)∵∥∴∠1=∠210.定理:两直线平行内错角相等∵∥∴∠1=∠211.定理:两直线平行,同旁内角互补∵∥∴∠1+∠2=18

3、0°1612.公理:同位角相等两直线平行(公理和定义可以用来证明定理)∵∠1=∠2∴∥13.定理:内错角相等两直线平行∵∠1=∠2∴∥14.定理:同旁内角互补,两直线平行∵∠1+∠2=180°∴∥15.定理:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行∵∥,∥∴∥16.定理:如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行∵⊥,⊥∴∥17.定理:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB∴PA=PB1618.定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这

4、个角的角平分线上∵PA⊥OA,PB⊥OBPA=PB∴OP平分∠AOB19.定义:两个角的和等于直角时,称两个角互为余角,两个角的和等于平角时,称两个角互为补角。∵∠1+∠2=180°∴∠1与∠2互补∴∠1与∠2互余∵∠1+∠2=90°20.定理:同角(或等角)的余角相等∵∠1+∠A=90°∵∠1+∠2=90°∴∠A=∠221.内角和定理:三角形的内角和等于180°∠A+∠B+∠C=180°22.外角和定理:三角形的内角和等于360°∠1+∠2+∠3=360°23.三角形的外角定理:三角形的一个外角等于和它不相

5、邻的两个内角的和∵∠1是△ABC的外角∴∠1=∠B+∠C1624.三角形的外角推论:三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角∵∠1是△ABC的外角∴∠1>∠B∠1>∠C25.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边>,+><,->+>-<26.三角形的面积:S=27.推论:等底等高的三角形面积相等,等高三角形面积的比等于底的比∵BD=DC∴S△ABD=S△ADC,S△EFH∶S△EHG=FH∶HG28.全等三角形的判别:公理:(1)边角边(2)角边角(3)边边边(1)∵AB=DE

6、,∠B=∠E,BC=EF∴△ABC≌△DEF(2)∵∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(3)∵AB=DE,BC=EF,AC=DF∴△ABC≌△DEF(4)定理:角角边∵∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF∴△ABC≌△DEF29.公理:全等三角形的对应角相等,对应边相等∵△ABC≌△DEF∴(1)∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(2)AB=DE,BC=EF,AC=DF1630.定理:(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例的

7、两个三角形相似(1)∵∠A=∠D,∠B=∠E∴△ABC∽△DEF(2)∵AB∶DE=BC∶EF∴△ABC∽△DEF(3)∵AB∶DE=BC∶EF=AC∶DF∴△ABC∽△DEF31.定理:相似三角形对应角相等,对应边成比例32.定理:相似三角形对应角平分线的比,对应中线的比,对应高的比,周长的比都等于相似比∵△ABC∽△DEF∴AH∶AD=EF∶BC33.定理:相似三角形面积的比等于相似比的平方∵AB∥DC∴S△AOB∶S△COD=(BO∶OD)234.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第

8、三边的一半∵点D和E分别是AB和AC的中点∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=35.等腰三角形的性质和判定:(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(2)等腰三角形的两个底角相等(1)∵∠B=∠C∴AB=AC(2)∵AB=AC16∴∠B=∠C36.定理:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)(1)∵AB=AC,AD平分∠BAC∴BD=DC,AD⊥BC(2)∵AB

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