非定常线性双曲方程的差分_间断galerkin方法的精度估计

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1、———间断Galerkin方法的精度估计赵建丛康彤(河北农业大学)(北京广播学院,中科院计算数学与科学工程计算研究所)【摘要】本文对非定常线性双曲方程的差分间断———Galerkin格式进行了误差分析,作了收敛阶估计,得到了L∞(0,T;Hr+1(Ω))模的次最优估计。【关键词】差分—间断Galerkin方法精度估计1引言在5中,曾建立了非定常线性双曲方程的差分———间断Galerkin格式(FiniteDifferenceDiscontinuousGalerkinscheme,以下简称FD-DG格式),这种方法简化了传统的时—空剖分

2、方法的计算难度,本文进一步对FD-DG格式进行了误差分析,得到L∞(0,T;Hr+1(Ω))模的次最优估计。假设Ω

3、v,DV∈L∞(Ω)},其范数‖v‖1,∞,Ω=sup

4、α

5、≤1‖Dαv‖,半范数为

6、v

7、=sup0,∞,Ω1,∞,Ω

8、α

9、=1‖Dαv‖0,∞,Ω,其中,‖v‖0,∞,Ω=esssup

10、v

11、,Hm(Ω)表示P=2的m阶Soblev空间。ΩL(0,T;x)假设X为Banach空间,其范数用‖1‖X表示,映射φ(x,t):0,T→X

12、,记‖φ‖2=∫T21/2=‖‖2∞0‖φ‖x(t)dtφL(x);‖φ‖L(0,T;x)=sup{‖φ‖x(t)}=‖φ‖L∞)。(x0≤t≤T2问题的陈述考虑非定常一阶双曲方程的第一边值问题(A):σΩ5u5t+a(x,t)Au+(x,t)u=f(x,t)(x,t)∈×[0,T](211)u=g(x,t)x∈г-(t)t∈[0,T](212)u(x,0)=u0(x)x∈Ω(213)其中β,(x,t)=(β1(x,t),(β2(x,t),г-(t)称为内流边界,定义为г-(t)={x∈5Ωβ,(x,t)n(x)<0},n(x

13、)为Ω的外法向。类似地,定义г+(t)={x∈5Ωβ,(x,t)n(x)≥0}为外流边界。显然,г-关于问题(A)的解、系数及右端项,假定满足条件Ⅰ:a)对任意t∈0,T,βi(x,t)∈W1,∞(Ω),i=1,2;b)对任意t∈0,T,σ(x,t)∈W1,∞(Ω)∩C(Ω);c)f(x,t)∈L∞(0,T;L2(Ω)),g(x,t)∈L∞(0,T;L2(г-(t)),初始条件u0(x)∈Hr+1(Ω);d)问题(A)的解u存在且唯一,并满足u∈L∞(0,T;Hr+1(Ω)∩C(Ω×0,T),5u∈L∞(0,5tT;Hr+1(Ω))

14、。e)对任意t∈0,T,(βi(x,t)i=1,2),关于x满足Lipschitz条件,即存在常数L>0,使

15、βi(x,t)-βi(x′,t)

16、≤L

17、x-x′

18、由于г-(t)随着t的不同而变化,因而随着t的改变,需要对Ω采取不同的剖分。首先在t=t0h=0时,对Ω采取拟一致三角剖分,用Tt0表示,其网格参数为h0,假定对任一t∈0,T及г-h(t),对Ω均采用拟一致三角剖分Tt,并要求每次剖分的网格参数ht均满足P0≤ht/h0≤P1,其h中,P0,P1为两个确定的正常数,为了记号简单,对于每次剖分Tt,用K表示其剖分单元,5

19、K表示K的边界γ,(x)=(γ1(x),γ2(x))T表示5K的单位外法向,定义5K-={x∈5Kβ,(x,t)γ(x)<0},5K+={x∈5Kβ,(x,t)γ(x)≥0},则5K=5K+∪5K-,并称5K+、5K-为单元K的内、外流边界。设Vt为基于剖分Tt的分片多项式空间,记为:Vt={v∈L(Ω),v

20、k∈P(k),hhh2rΠk∈Tt},这里,P(k)为单元K上的r次多项式空间,则Vt具有如下逆性质6:存在与h无hrht关的常数c0,使得

21、v

22、s,k≤c0h-s‖v‖0≤s≤r,v∈Vt。特别,当s=1时,有t0,

23、kh

24、v

25、1,k=‖Av‖0,k≤c0h-1‖v‖tk对于时间区间0,T,令步长Δt=kh01/2,k为适常选定的常数,从t=t0=0开始剖分,则区间0,T剖分为0=t0

26、,=gn。(x,tn)=σn,f(x,tn)=fn,g(x,tn)假设l为相邻单元K和K′的公共边界,对任意的v∈Vhn(Ω)及x∈l,定义V+(x)=limvs→0+(x+xβn),V-(x)=limv(x+xβn)