8 与三角形有关的线段、与三角形有关的角、多边形及其内角和

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1、【本讲教育信息】一. 教学内容：    与三角形有关的线段、与三角形有关的角、多边形及其内角和 二. 教学要求（一）研究三角形及有关概念，理解三角形的边、顶点、内角、外角等基本概念，学习这些概念的文字表述、符号语言表述、图形表述；（二）理解三角形的三边关系，会根据三条线段的长判断能否构成三角形，知道三角形具有稳定性；（三）会按角和边的关系对三角形进行分类；（四）理解三角形的角平分线、中线和高等基本概念，并能正确地画出一个三角形的角平分线、中线和高，从而逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力；（五）掌握三角形

2、的内角和定理及其推论；（六）会用公式求多边形的内角和，知道多边形的外角和等于。 三. 重点及难点（一）重点1、掌握三角形的基本概念，分类方法；2、理解并掌握三角形三边的内在关系；3、掌握三角形中的主要线段——三角形的角平分线、中线和高；4、三角形的内角和定理及其推论；多边形的内角和及多边形的外角和。（二）难点1、三角形三边关系的应用；2、三角形中的主要线段——三角形的角平分线、中线和高；3、三角形的内角和定理及其推论 【知识要点】（一）三角形的有关概念1、三角形及三角形的边、顶点、内角、外角。由不在同一条直线上的三

3、条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。“三角形”用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。2、三角形的分类（1）三角形按角分类（2）三角形按边分类几种特殊三角形的有关概念：不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做

4、腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。3、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段。要区别角的平分线和三角形的角

5、平分线。②一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高。三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，而三条高的位置与三角形的形状有关：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边就是它的两条高，另一条高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部。③三角形的三条角平分线，三条中线，三条高（或其延长线）都相交于一点。利用这个特性，可检验所画的三条角平分线，三条中线，三条高是不是准确。 （二）三角形三边关系的定理及推论定理：三角形两边之和大于第三边。推论：三角形两边之差小于第三边。注意：这

6、里说的两边指的是 “任意”两边。 （三）三角形角之间的关系1、三角形三个内角的和等于。（证明要用以前学过的涉及的知识去证，可从三个方向考虑：①平角；②邻补角；③两直线平行同旁内角互补）2、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。在三角形的每一个顶点处，有两个外角，这两个角是相等的角，任取其中的一个，那么在三个顶点处得到三个外角，这三个外角的和叫做三角形的外角和。三角形外角和等于。3、三角形内角和定理的推论（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

7、（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （四）多边形及其内角和1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2、多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。3、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。4、多边形的内角和：边形内角和等于。5、多边形的外角和等于。 【典型例题】例1. 如图，已知，（      ）（A）        （B）          （C）        （D）     分析：添加恰当的辅助线，

8、把所求的角的和转化为三角形的内角和或多边形的内角和，即可得出解答。解答：连结，∵，    ∴∴选。说明：解决这类问题只要善于运用三角形和多边形的内角和定理，就不困难了。 例2. 如图，在△ABC的边BC上取两点D、E，使BD=CE，请你运用三角形三边的关系和平移的知识，观察AB+AC与AD+AE之间的长度关系，提出一个设想，并加以证明.      分析：通过