2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第08讲 几个基本初等函数(新)

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1、第8讲几个基本初等函数本节主要内容有指数和对数的运算，幂函数y=xn、指数函数（）和对数函数（），指数方程和对数方程，指数不等式和对数不等式等．A类例题例1解不等式．解等价于或．即或，所以或或．所以x>4或0

2、glogx=1，Þlogx=，Þx==；log3loglogx=0，Þloglogx=1，Þlogx=，Þy==；log5loglogz=0，Þloglogz=1，Þlogz=，Þz==，∵23<32，Þ215<310．Þx52，Þ215>56，Þz

3、上有意义，求的取值范围．（2004年天津数学竞赛）解（1）由（，），得又函数的图象与函数的图象关于点对称，则，于是，．（）（2）由（1）的结论，有．要使有意义，必须，又，故．由题设在上有意义，所以，即．于是，．　情景再现1．不等式+logx3+2>0的解集为（）A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]（2004年全国联赛一试）2．若a>1，b>1,，且lg(a+b)=lga+lgb，则lg(a–1)+lg(b–1)的值()A．等于lg2B．等于1C．等于0D．不是与a,b无关的常数（1998年全国高中数

4、学联赛)3．已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1)B．(1，2)C．(0，2)D．［2，＋∞B类例题例4下列表中的对数值只有两个是错误的，请予纠正：x0.0210.271.52.8lgx2a+b+c－36a－3b－23a－b+c1－2a+2b－cx3567lgx2a－ba+c1+a－b－c2(a+c)x8914lgx3－3a－3c4a－2b1－a+2b(1981年全国高中数学联赛）分析所给数据互相关联，x的11个值只涉及到质因子2、3、5、7，利用对数得运算性质，

5、把所给的11个对数值转化成由lg2=1-a-c、lg3=2a-b、lg7=2b+c这三个值表示的式子，同时抓住“只有两个值是错误的”这个条件进行分析。解因为lg9==2lg3，而4a－2b=2(2a－b)，lg0.27=lg27－2=3lg3－2，而6a－3b－2=3(2a－b)－2，故此三数同对错；现只有两个数据错，故这三个数据都正确．由lg8=3lg2=3－3a－3c，Þlg2=1－a－c，而lg6=lg2+lg3=1－a－c+2a－b=1+a－b－c；lg5=1－lg2=a+c；此三数同对错，故此三数都正确．由于

6、lg3，lg5已证正确，lg1.5=lg15－1=lg3+lg5－1=2a－b+a+c－1=3a－b+c－1，故lg1.5错误．由于lg0.021=lg3+lg7－3=2a－b+lg7－3=2a+b+c－3Þlg7=2b+c；lg14=lg2+lg7=1－a－c+lg7=1－a+2b，Þlg7=2b+c；lg2.8=lg7+2lg2－1=lg7+2－2a－2c－1=1－2a+2b－c，Þlg7=2b+c；故此三数同对错，由于只有一个错，故此三数皆正确．从而lg7=2b+c正确．于是lg7=2(a+c)错．所以表中lg1

7、.5与lg7的数据是错误的．应为lg1.5=3a－b+c－1及lg7=2b+c．例5比较和的大小。分析由于和的底不同，转化为同底比较困难，可以考虑对两式进行适当变形或寻求一个中间量进行传递。解法一，，因为，所以。解法二。因为，所以，即。说明推广到一般为：。例6关于x的方程=2中，a为何实数时，方程无解？有一解？有两解？(1987年高考题)解法一：已知方程同解于解③：x2+2(a－1)x+a2=0，④D=4(a－1)2－4a2=－4（2a－1）．⑴－2a+1>0，Þa<，即当a<时，④有两不等实解，由韦达定理知，此二解为

8、正．x1=(1－a)－，x2=1－a+，显然x2+a=1+>1，即x1满足①、②，又x1+a=1－，Þx1+a≤0Ûa≤0，即a≤0时x1不满足②，当0