2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第06讲 函数的概念（新）

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1、第6讲函数的概念本节主要内容有映射与函数的概念，函数的定义域和值域的求法，函数的对应法则f，分段函数和绝对值函数的图象．A类例题例1求下列函数的定义域：（1）（2）()解（1）要使函数有意义，必须，即，故函数定义域为．（2）由题意知，函数的自变量x满足由于又，所以．当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为．说明列出使解析式有意义的条件不等式，问题就可以转化为求不等式（组）的解，若含有参数，需对参数的取值进行讨论．例2已知函数的定义域为[－1，1]，求函数（）的定义域．[来源:学科网]分析函数的定义域是，的定义域的交集，其中和

2、有相同的取值范围[－1，1]，解题过程中应注意参数a的取值范围，必要时应对a分类讨论．解由题意得因为，所以当时，，不等式组的解集为，此时函数的定义域是；当时，，不等式组的解集为，此时函数的定义域是．说明一般的，若函数的定义域为，则函数的定义域由不等式决定．例3求下列函数的值域：（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）；（5）．解（1）令（），则，所以．又，故，即函数的值域为．说明函数＝可以看作由函数和复合而成，即．为了求函数的值域，可以先通过函数求出t得取值范围，再由t的取值范围，通过函数求出的取值范围．链接设是A到B上的函数，是B/到C/上的函数，且

3、，当t取遍B中元素时，y取遍C（），那么函数就是A到C上得函数，叫做复合函数．（2）由y＝，得(y―2)x2―(y―2)x－y－3＝0①，当y＝2时，①式不成立，无对应的实数x，当y≠2时，△＝(y―2)2―4(y―2)(y＋3)≥0，解得或y>2。∴或y>2，即函数的值域为．又解：=2+，令，由，故的取值范围是，即函数的值域为．（3）＝=（），所以，即函数的值域为．说明　形如的函数的值域常常利用判别式加以求解．在解题过程中，一要注意和有无公因式，若有，可以先约分，进而转化为（注意定义域）的形式；二要注意对转化后的二次项系数是否为0进行讨论．链接若

4、将y看作常数，所给函数便可以看作是关于x的方程．若可以变形为关于x的二次方程，则可以利用判别式非负来求y的取值范围，但需注意取等号的问题．（4）表示数轴上坐标为x的点P到点A（1）、B（2）、C（3）的距离之和，观察动点的位置，显然当P落在B点，即x=2时，达到最小值，故值域为[2，）．说明一般地，数轴上若有点A1，A2，…，An，且，则，当n为奇数时，x对应点落在中间点上时，取最小值；当n为偶数时，x对应点落在中间两点之间（包括两点）时，取最小值．(5)表示动点P（x，0）到定点A（1，1）、B（－1，1）的距离之和，故，即函数的值域为．说明利用

5、几何图形的直观性是求值域的一种方法．本题还可以利用基本不等式（a>0，b>0)求值域．，当且仅当x=0时取等号，故函数的值域为．要注意，解题时等号能否取到．链接若数轴上有点A，B，坐标分别为，则A，B两点间的距离AB=；若平面上有点A，B，坐标分别为A（）、B（），则A，B两点间的距离AB=．情景再现[来源:学科网ZXXK]1．若函数的定义域为A，y=f[f(x)]的定义域为B，则()A．B．C．D．2．已知函数的定义域为，求函数的定义域．3．（1）函数y=的值域为。（河南省1999年高中数学竞赛)（2）函数的最小值是（）A．1　　B．2　　C．　

6、　D．（2005年四川数学竞赛）B类例题例4设，计算和…＋（1995年第二十七届加拿大数学奥林匹克题改编）分析注意到，所以可以考虑和之间的关系．解由于＋=，因此，（）从而…＋=．例5函数=，∈[―，1―]，该函数的最大值是25，求该函数取最大值时自变量x的值．分析限定在区间[―；1―]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况．二次函数=(R)的图象是对称轴为，开口向下的抛物线，与区间[―，1―]的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分情况讨论．解二次函数=图象的对称轴为，当∈[―，1―]，即时，最大值应是．由=25得，不符合的条件．故；当

7、＞1―，即＞时，函数=，∈[―，1―]是增函数，故，解之得=或=．其中=不合＞的条件，舍去．此时x=1―=1－=－．当＜―，即＜时，函数=，∈[―，1―]是减函数，故，解之得=或=．其中=不合＜的条件，舍去．此时x==．综上所述，当=－或=时，函数有最大值25．说明二次函数在给定区间上的值域（或最值）问题，常常需要考察对称轴与区间的关系，进而研究二次函数在给定区间上的单调性．本题也可以换个角度思考：函数=，∈[―，1―]的最大值只可能在区间的端点和对称轴三个位置取到，可以通过先计算，后验证的方法求解．例6设集合≤≤9，∈N}，．定义P到Z的映射：（

8、．若都是中的元素，且满足：（）39，（66，试求的值．（1986年北京市高一赛题）分析注意到由（）39，（66可以得到关于