2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第01讲 二次函数

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1、第1讲二次函数的图象和性质本讲内容包括二次函数的图象和性质，二次函数在给定区间上的最值。二次函数是具有典型意义的初等函数，它的图象是以垂直于轴的直线为对称轴的抛物线。其中，二次项系数决定了抛物线的形状（的符号和

2、

3、的大小分别确定抛物线的开口方向和开口大小）；常数是抛物线在轴上的截距（抛物线与轴的交点的纵坐标）；一次项系数与图象的左右平移有关。二次函数中，当时，若，即，则函数值随着自变量的增加而减少；若，即，则函数值随着自变量的增加而增加；当时，若，即，则函数值随着自变量的增加而增加；若，即，则函数值随着自变量的增加而减少。当时，二次

4、函数取最小值（）或最大值（）。其中，为叙述方便，我们用符号表示的函数。表示时，函数的值。如，则A类例题例1如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则（）分析由于所给的条件是二次函数的图象即函数的“形”的特征，欲求的结论是关于系数的不等式即函数的“数”的性质。因此，解题的关键在于确定结论中系数及其表达式的几何意义，进而通过图象进行判断。解1设，则。由图象可知，，故可以排除A、B。由，，得。又，因此，又可以排除D。所以，本题应选C。解2由，，得。又，即，因此，，所以，本题应选C。例2二次函数的图象的对称轴是直线，试比较的大小。分析二次函数的

5、图象是开口向上的抛物线，且对称轴为。若时，函数值随着自变量的增加而减少；若时，函数值随着自变量的增加而增加。为便于比较函数值的大小，首先运用图象的对称性将所求的函数值对应的值移入同一个单调区间，以利于运用函数的增减性质求解。解由是二次函数的图象的对称轴，得。又二次函数中，因而当时，函数值随着自变量的增加而增加。所以，。评注对于二次函数，若，二次函数图象上的点到对称轴距离越近，此点对应的函数值越小，在顶点处取得最小值；反之，若，二次函数图象上的点到对称轴距离越近，此点对应的函数值越大，在顶点处取得最大值。例3二次函数的最大值是14，且

6、，求二次函数。分析二次函数的解析式可以表示为；或，其中是函数的图象与轴的交点的横坐标；或，其中直线是抛物线的对称轴，当时，函数取最值。求二次函数的解析式只需根据题意选择适当的标准形式，并确定其中的参数。解1设二次函数的解析式为，由题意，所以，二次函数的解析式为解2由，得2和是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。故可设，于是，由，所以，二次函数的解析式为解3由，得二次函数的图象的对称轴为即。故可设，由，解得。所以，二次函数的解析式为情景再现1．当时，函数有最小值，又，求的值。2．设，二次函数的图像为下列之一则的值为()（A）（B）（C）

7、（D）3.若函数满足，则的大小关系是（）不能确定B类例题例4若对任何实数抛物线都过一定点，求此定点的坐标。分析1先运用特殊化方法求出定点的坐标，再证明抛物线都过这一定点。解1令令由（1）、（2）解得将代入，等式成立。所以，对任何实数抛物线都过定点（4，33）。分析2将看作关于的方程，原命题即为当为何值时，方程的解为一切实数。解2可化为。当且仅当即时，的解为一切实数。所以对任何实数抛物线恒过定点例5如果函数对任意实数t都有，那么（）分析等式表明，函数的图象上到直线距离相等的两点的纵坐标相等，即直线是函数的图象的对称轴。因此，。解由，得

8、函数的对称轴是，因而有。又当时，函数的值随着增加而增加。所以，。故本题应选。评注（1）若函数对任意实数x都有,则函数的图象关于直线对称；（2）本题也可以由得到。由因此，。例6已知函数求（1）在上的最大值和最小值；（2）在上的最大值和最小值。分析二次函数在实数范围内或有最大值，或有最小值；但在给定区间上，它的图象是一段抛物线弧，可以既有最大值，也有最小值。通常运用配方法求解。解.（1）由，得当时，函数取最大值；当时，函数取最小值。（2）由，得当时，函数取最大值；当时，函数取最小值。评注二次函数在给定区间上的图象是一段抛物线弧。（1）所

9、给区间上的抛物线弧段不含抛物线顶点，保持单调递增，因此它的最值分别在抛物线弧段的两个端点实现；（2）所给区间上的抛物线弧段含抛物线顶点，因此它的最值分别在抛物线的顶点及抛物线弧段的两个端点之一实现。情景再现4．若实数，证明抛物线过两个定点，并求出这两个定点间的距离。5．设二次函数，求此函数的最值。6．已知二次函数在区间上的最大值为1，求实数的取值范围。C类例题例7设是方程的两根。求满足，，的二次函数。分析二次函数的解析式中，共有三个待定系数。题设条件中有三个等式，故本题可运用列方程组方法求解。解1设二次函数，由题意，（1）+（2），

10、（1）-（2）由（3）、（4）、（5）解得因此，所求函数为解2由，可设二次函数，则（1）+（2）（1）--（2）由（3）、（4）解得因此，所求函数为例8已知，求的最小值的表达式，并求的最大值。分析由于是二次函数在给定区间上的最小值。在