极限思想在高中数学及应用

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1、极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中雷勇极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。xyFPQO例1、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段与的长分别是、,则等于（）(A)(B)(C)(D)分析：本题是有关不变性的问

2、题，常规解法是探求的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为，而，所以，故选择（C）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。例2、正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）4分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正多边形的一个内角，即为，因此，所求

3、二面角的范围应为（）例3、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和xBCDAyAB上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为若则的取值范围是（）A．B．C．D．分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出的取值范围，根据极限的观点，令，不妨令与重合，依据入射角等于反射角，即知、、均为各边中点，此时，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C）

4、例4、已知函数，若存在为实数，只要，就有，则的最大值是分析：作函数与的图像，平移f(x)的图像.使之与直线交于（1，1）和两点，此时所得的图像是，图像的极端位置；于是解方程组，再由，得，所以4例5、已知数列中，且对于任意正整数，总有，是否存在实数，使得，对于任意正整数恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。分析:如果这样的存在的话，则由，可得。对两边取极限，得，解得或。若，则数列应该是以为首项、以为公比的等比数列，于是，，不符合显然，不可能对任意的正整数都满足；若，将代入，可求得，此时，，验证：，不符合。所以，这样的实数不存在。例6、设n为自然数，求证:分析：　当时，不等

5、式显然成立。设时，不等式成立，即那么，当时，4由于，证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于是一个常数，从到右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想，且当时，，不妨把要证结论强化为：证明：①当时，，不等式成立，②设时，不等式成立，即那么，当时，即当时，不等式成立，所以有通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。4