因子分析(因子评价)

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1、因子分析一．因子分析原理因子分析是根据相关性大小把原始变量进行分组，使得同组内的变量之间相关性高，而不同组的变量之间的相关性低。每组变量代表一个基本结构（即公共因子），并用一个不可观测的综合变量来表示。对于所研究的某一具体问题，原始变量分解为两部分之和。一部分是少数几个不可观测的公共因子的线性函数，另一部分是与公共因子无关的特殊因子。从全部计算过程来看作R型因子分析与作Q型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R型从相关系数矩阵出发，Q型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定用哪一类型的因子分析因子模型的性质：模型不受变量量纲的影响；因子载荷不是唯

2、一的。二．因子分析的数学模型设有个指标，则因子分析数学模型为：其中，是已标准化的可观测的评价指标。出现在每个指标的表达式中，称为公共因子，公共因子是不可观测的，其含义要根据具体问题来解释。是各个对应指标所特有的因子，故称为特殊因子，它与公共因子之间彼此独立。是指标在公共因子上的系数，称为因子载荷，因子载荷的统计含义是指标在公共因子上的相关系数，表示与线性相关程度。用矩阵形式表示为：其中，，，，称为因子载荷矩阵。其统计含义是：中的第行元素说明了指标依赖于各个公共因子的程度。中第列元素说明了公共因子与各个指标的联系程度。故常根据该列绝对值较大的因子载荷所对应的指标来解释这个公共

3、因子的实际意义。中的第行元素的平方和称为指标的共同度。中第列元素的平方和表示公共因子对原始指标所提供的方差贡献的总和，衡量各个公共因子的相对重要性。称为公共因子的方差贡献率，越大，公共因子越重要。三．因子分析的步骤3.3.1将原始变量数据进行标准化处理无两钢化；3.2计算标准化指标的相关系数矩阵；3.3求解相关系数矩阵的特征向量和特征值；3.4确定公共因子的个数，设为个，即选择特征值1的个数或根据累积方差贡献率85％的准则所确定的个数为公共因子个数；3.5求解初始因子载荷矩阵；常用的方法有：主成分法、主轴因子法、极大似然法等。本文用主成分法寻找公因子的方法如下：设从相关矩阵

4、出发求解主成分，设有个变量，则可以找出个主成分，将所得的个主成分由大到小排列，记为，则主成分与原始变量之间有r11是特征根，x1是原始数据其中是随机变量的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，特征向量之间正交，从到的转换关系的可逆得到由到的转换关系只保留前个主成分，而把后面的个主成分用特殊因子代替，即后面的被替代为了把转化为合适的公因子，需要把主成分变为方差为1的变量，故令，则设样本相关系数矩阵的特征值为，其相应的标准正交特征向量为，设，则因子载荷矩阵的一个估计值为：共同度的估计为：。3.6建立因子模型，其中为公共因子，为特殊因子。3.7对公共因子进行重新命名，并解释公共

5、因子的实际含义当初始因子载荷矩阵难以对公共因子的实际意义作出解释时，先要对作方差极大正交旋转，然后再根据旋转后所得的正交因子载荷矩阵作出解释，即根据指标的因子载荷绝对值的大小，值的正负符号来说明公共因子的意义。3.8对初始因子载荷矩阵进行旋转由于因子载荷矩阵不唯一，旋转变换可以是使初始因子载荷矩阵的每列或每行的元素的平方值趋于0或1，从而使得因子载荷矩阵结构简化，关系明确。如果初始因子之间不相关，公共因子的解释能力能够用其因子载荷平方的方差来度量时，则可采用方差极大正交旋转法；如果初始因子之间相关，则需要进行斜交旋转，通过旋转后，得到比较理想的新的因子载荷矩阵。3.9将公共

6、因子变为变量的线性组合，得到因子得分函数，系数，，均为标准化的原始变量和公共因子。因子得分函数的估计值为其中为因子载荷矩阵，为原始变量的相关矩阵，为原始变量向量。3.10求综合评价值，即总因子得分估计值为其中时第个公共因子的归一化权重。即：3.11根据总因子得分估计值就可以对每个被评价的对象进行排名，从而进行比较。四．因子分析的评价4.1首先在进行因子分析时，必须消除原始变量数据量纲和数量级的影响，所以需要对原始变量数据作转换。常选用标准化变换。有些参考文献中也有说这样的标准化处理仍然存在有不合理的地方，但是在实际应用中，为了简便，常选用上式进行变换。4.2在做因子分析之前

7、，需要对原始变量间作相关性分析。因为并不是所有的变量数据都是可以做因子分析的。4.3因子分析适宜针对大样本容量做综合分析，对于小样本容量所做的分析不够准确。一般要求样本容量大于指标个数的两倍。4.4不能简单地将初始因子载荷矩阵认为是主成分系数矩阵(特征向量矩阵)，否则会造成偏差。所建立的综合评价函数只是给出了一个排名，只是定性说明这个函数包含了原始变量信息量的程度，并没有给出一个百分比等定量的度量。五．典型案例随着市场竞争的日益激烈，公司在人才选择方面更加注重人才的综合素质，并结合职位特定选择专门人才。在本文中选取