第12章 薄板的小挠度弯曲问题

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1、第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次

2、要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。§12.1薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本

3、概念和基本假设。薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤d/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。17根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。学

4、习思路：1、薄板基本概念；2、基尔霍夫假设1、薄板基本概念薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用d表示。平分板厚的平面称为板的中面。设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果d/b≥1/5，称为厚板；如果d/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤d/b≤1/5，称为薄板。厚板属于

5、弹性力学空间问题，而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时，属于平面应力问题讨论。如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷，则板主要变形为弯曲变形。中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。17对于薄板，仍然有相当的弯曲刚度，如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题；如果超过这个界限，属于大变形问题。本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学

6、模型。薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。2、基尔霍夫假设薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。设中面为xy平面，则1、变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线，而且长度不变。这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示根据这一假设，ez＝gzx＝gzy＝0。2、垂直于中面方向的应力分量sz，tzx，tzy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计，但是对于维持平衡是必要的，这相当于梁的弯曲无挤压应力假设。3、薄板弯曲时，中

7、面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移，即uz=0=0，vz=0=0，w=w(x,y)根据这一假设，板的中面将没有变形发生。板的中面位移函数w(x,y)称为挠度函数。根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析，实践证明是完全正确的。根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x,y)。下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x,y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。17因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。

8、§12.2