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1、正态分布的若干理论知识及其应用毕业论文目录引言:11．正态分布概念12.正态曲线的特性23.参数m和s的意义34.标准正态分布及正态分布表44.1.标准正态分布44.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表44.3.正态分布表的几种形式55.正态随机变量落在区间(x1,x2)内的概率计算75.1.当值机变量ξ～N(0,1)时的概率计算85.2.当随机变量ξ～N(m,s)时的概率计算95.2.1.服从一般正态分布的随机变量ξ～N(m,s)的分布函数95.2.2.概率计算106．正态分布在几个领域内的应用实例126.1．已知m,s求某条件下的概率[8]126.2．已知某条件下的概率,求参数和s?
2、146.3．已知m,s和区问(a,b)内的变量数,求总变量数156.4．已知m,s及各范围内的概率,求某范围的上、下限166.5.用标堆差确定所需测量次教17参考文献19致谢2028正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用,数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.正态分布也具有许多良好的性质,因此在理论研究中正态分布十分重要.1．正态分布概念设连续型随机变量的密度函数(也叫分布密度,概率密度,概率密度函数)为:
3、(1.1)(其中是常数,且,为正态总体的平均值,为正态总体的标准差,为正态总体中随机抽取得的样本值).则称随机变量服从参数为的正态分布,记作,式(1.1)是德国著名数学家高斯在找误差分布时于1795年推导发现的,因此正态分布又称高斯分布、误差分布或常态分布.正态分布密度函数的图形如图1所示,这条曲线称“正态分布密度函数曲线”或“正态分布曲线”,简称“正态曲线”,由于它的形状象只钟,又称“钟形曲线”,为纪念高斯又称“高斯曲线”[1].2.正态曲线的特性对式(1.1)进行数学处理,可得正态曲线特性.对式(1.1)求导,有(2.1)28令,则有,即当时,有极大值对式(2.1)求导有:(2.2)令
4、,则有,即曲线在:处有两个拐点.将正态曲线的特性列入表1.表1正态曲线特性0---0---0¯¯曲线凹拐点凸极大值凸拐点凹由表1和图1可知正态曲线有以下特性:1)曲线以为对称轴,且在时取得极大值,曲线由起向左右延伸时,不断降低,呈现中间高,两头低的钟的形状.2)曲线在对称轴两侧处有两个拐点.3)的取值范围为整个轴,离越远,越小,当时,曲线以轴为渐进线.4)曲线总在轴上方,它于轴所围面积等于l,对称轴两边曲线下的面积相等各为0.5.机械加工得到的尺寸是服从正态分布的,如在机床上加工100件中的轴,则这100件轴的尺寸有以下统计规律.1)100个尺寸中,在10附近的占的数量最多、这是正态分布的
5、单峰性.281)在这100个尺寸中,约有50个左右大于10,有50个左右小于10,这是正态分布的对称性.2)在这100个尺寸中,大于10.03的个数和小于9.97个数都很少,这是正态分布的有界性.3)这100个尺寸与标准尺寸10的差的平均值趋与零,这是正态分布的抵偿性.上述四条规律,零件数量越多就越准确[2].3.参数m和s的意义和是正态分布的两个参数,当和确定后,正态曲线就完全确定了.和不同,正态曲线的位置和形状则不同.是位置参数,它的大小决定曲线在轴上的位置,是形状参数,它的大小决定曲线的高矮胖瘦.若不变只让变,则曲线形状不变,仅在轴上平行移动如图2所示;若不变只让变,则曲线在轴上的位
6、置不变,仅形状发生变化,越小则曲线越显的高瘦陡峭;越大则曲线越显得矮胖平缓,如图3所示:从几何角度看,是正态曲线极大值的横坐标、是曲线拐点的横坐标到之间的距离,或者说是凸、凹曲线连接点的横坐标;从物理角度看,是正态曲线与轴之间的平面图形重心的横坐标.在数理统计中,是正态分布的数学期望或叫均值,是标准偏差.在计量学中,是被测量的真值,是表征测量值分散特性的一个度量指标.越大,观测值落在附近的概率越小,即观测值分散,测量精度低;越小,观测值落在附近的概率越大,即观测值集中,测量精度高.总之,表明了观测值的集中趋势,28反映了观测值的分散程度.显然我们希望越小越好[3].4.标准正态分布及正态分
7、布表4.1.标准正态分布称的正态分布为标准正态分布,将代入(1.1)式有:(4.1.1)式(4.1.1)为标准正态分布的密度函数,服从标准正态分布的随机变量[1].4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表概率论告诉我们,随机变量的分布函数等于密度函数在无穷区间上的广义积分,于是标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为:(4.2.1)通常用表示标准正态分布的分布函数,即:(4.2.2)取不同的的值,由式(4.2.2)
