与等腰三角形有关的证明题

《与等腰三角形有关的证明题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、与等腰三角形有关的证明题与等腰三角形有关的证明题等腰三角形是特殊的三角形之一，它具有许多特性，因此，以等腰三角形为背景的证明题特别受到中考命题者的青睐，常以此考查同学们对等腰三角形性质的掌握情况及运用能力。例1.如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线。求证：AD∥BC图1分析：要证AD∥BC，只需证明同位角∠1＝∠B（或内错角∠2＝∠C）即可，而这些角究竟有什么关系呢？考虑已知条件AB＝AC，知∠B＝∠C。AD平分∠BAC的外角，得∠1＝∠2又∠1＋∠2＝∠B＋∠C（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）由这

2、三个相等关系即可得：∠1＝∠B故AD∥BC成立。例2.如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。求证：DF＝EF图2第4页共4页与等腰三角形有关的证明题分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等，但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅助线。作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，

3、∠DFG＝∠EFC（对顶角相等）故∠GDF＝∠FEC又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC所以DF＝EF例3.如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：为定值。图3分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时，DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可

4、。要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。如果注意到高，联想到三角形面积，则可采用如下简单的证法：连接AD第4页共4页与等腰三角形有关的证明题则由，得：又AB＝AC边上的高＝定值例4.如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝

5、CE。求证：DE＞BC图4分析：要证DE＞BC，由于它们不是同一个三角形的两边，故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE沿AB平移到BF，连接EF、CF，则只需证明∠BCF＞∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形，所以∠DEF＝∠DBF，EF＝BD＝CE，∠ECF＝∠EFC又而所以∠BCF＞∠BFC故DE＞BC【练习】第4页共4页与等腰三角形有关的证明题1.等腰△ABC中，AB＝AC，D是底边BC延长线上一点。求证：2.等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点（中点除外），且BD＝AE。求证：第4页共4页