与等腰三角形有关的证明题.doc

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1、与等腰三角形有关的证明题例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。求证：DF＝EF分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等，但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加辅助线。第2页共2页作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）由AB＝AC，得∠B＝∠ACB从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等）故∠GDF＝∠FEC又DG＝CE，

2、所以△DFG≌△EFC所以DF＝EF第2页共2页例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：为定值。分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时，DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需

3、证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。第2页共2页如果注意到高，联想到三角形面积，则可采用如下简单的证法：连接AD则由，得：又AB＝AC边上的高＝定值第2页共2页例3.如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE。求证：DE＞BC图4分析：要证DE＞BC，由于它们不是同一个三角形的两边，故应先考虑通过添

4、加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把DE沿AB平移到BF，连接EF、CF，则只需证明∠BCF＞∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形，所以∠DEF＝∠DBF，EF＝BD＝CE，∠ECF＝∠EFC又而所以∠BCF＞∠BFC故DE＞BC第2页共2页