1齐次平衡法求解非线性方程-李士岗

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1、齐次平衡法求解非线性方程李士岗（包头师范学院数学科学学院）摘要：本文概述了齐次平衡原则的基本思想和步骤，并应用于非线性数学物理方程的求解。这是一种解题方法的创新及应用，以KdV方程为例，验证齐次平衡原则并借之获得KdV方程的周期解，并且还可获得孤子解和其它形式的解。关键词：齐次平衡原则；非线性变换；非线性偏微分方程；KdV方程；周期解。一、引言40多年来，非线性数学物理方程研究领域颇具特色成就之一是发现并构造了非线性偏微分方程精确解(特别是孤立波解)的各种精巧方法。如反散射方法、双线性算子方法、变换(BT)等。近年来提出并发展起来的齐次平衡方法[1-4]，实际上是求非线性偏微分方程精确解的一种

2、指导原则，可事先判定某类非线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定步骤求出它来。因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点；再者，还适用于用计算机符号计算系统进行计算，且得到的是精确的结果。本文基本内容安排如下：概述齐次平衡原则的主要思想与步骤；简述用齐次平衡原则导出非线性偏微分方程的非线性变换及精确解。二、齐次平衡原则[9]我们概述一下齐次平衡原则的基本思想和步骤，为简单起见，仅以一个未知函数，两个自变量的情形为例来阐明，对若干个未知函数及多个自变量的方程组的情形，可类似地表述。给定一个非线性偏微分方程（1）这里P一般是关于u对x，t的偏导数或混合导数的高阶

3、导数表达式。一个函数称为是方程（1）的拟解，如果存在单变元的函数，使关于x和t的一些偏导数的适当的线性组合，即（2）第9页,共9页关于x和t的低于m+n阶偏导数的适当的线性组合，或者将（2）改写为：（3）的各种偏导数为变元的低于m+n次的一个多项式（不管及其导数），精确地满足（1）、（2）及（3）中的非负整数m,n,单变元函数以及函数都是特定的，将（3）代入（1）后，可通过下述步骤确定它们。首先，使最高阶偏导数项中包含的的偏导数的最高幂次和非线性项中包含的关于的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数m及n是否存在（若发生m及n中有负数或分数的情形，可通过未知函数的变换，将原方程化为新未知函数方程

4、，使相应的m，n为非负的，其针对不同方程有不同的变换）。其次，集合的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数为零，而得满足的常微分方程，解之可得，一般是对数函数。第三，将的各阶导数的非线性项，用的较高阶的导数来代替，再将的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零，而得的各次齐次型的一般是过定的偏微分方程组，可适当选择（2）中线性组合之系数，使过定的偏微分方程组有解。最后，若前三步的解答使肯定的，将这些结果代入（3），经过一些计算就可得到（1）的精确解。对许多非线性数学物理方程（组），上述步骤的解答使肯定的，故齐次平衡原则有一定的普适性。此外，也可用其它方式叙述齐次平衡原则，其叙述方式依赖于对方程（1

5、）的解的相应的先验假设形式，这里不再赘述。三、非线性变换与周期解[9]用齐次平衡原则可导出相当广泛的一大类非线性偏微分方程的非线性变换，借助这种变换，可得非线性偏微分方程的各种形式的精确解。这方面的主要结果可在[1-9]中找到。这类方程包括著名的Burgers方程(含高阶情形，多维情形以及方程组的情形)，KdV方程[7]（含mKdV，高阶KdV，多维情形以及耦合KdV第9页,共9页方程组的情形），Benjamin-Bona-Mahony方程,Kuramoto-Sivashinsky方程,粒子物理的方程，Chaffea-Infante反应扩散方程,Fisher方程（含各种广义Fisher方程）,

6、水波的Boussinesq方程组及其各种变形等，至少有及十种之多[5-6]。现以KdV方程为例，验证齐次平衡原则并借之获得KdV方程的各种精确解，以便于对齐次平衡原则的具体应用有个清楚的了解。例1：对KdV方程[9]：（4）为使非线性项与最高次导数项部分平衡，设由此容易算出：在上式中要求：m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（4）具有如下形式的解：（5）其中,为待定函数。将（5）及上述等式代入（4），可得：第9页,共9页（6）令（7）可设：∴，，，，∴即：c=2∴（8）进而可得如下关系：，，，（9）利用（7）和（9），（6）可简化为：令的系数为零，欲使这些条件成立，只须满足（10）（

7、11）由于齐次方程具有余弦形式的解，依齐次平衡法，可假设（10）、（11）具有如下形式解：（12）其中k，r为待定常数。，，，第9页,共9页，，代入（10）、（11）可得：∴或或①当时，∴②当时，∴，③当时，∴例2：对KdV方程[8]：（13）为使非线性项与最高次导数项部分平衡，设由此容易算出：在上式中要求m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（13）具有如下形式的解：（14）其中,为待定