1986—2002年中国数学奥林匹克竞赛试题

《1986—2002年中国数学奥林匹克竞赛试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1986-2002中国数学奥林匹克1986年第一届中国数学奥林匹克1.已知a1,a2,...,an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+x2+...　+xn=1的任意非负实数x1,x2,...,xn，有不等式a1x1+a2x2+...　+anxn≧a1x12+a2x22+...　+anxn2成立。请证明上述命题及其逆命题。2.在三角形ABC中，BC边上的高AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角？3.设z1,z2,...,z

2、n为复数，满足

3、z1

4、+

5、z2

6、+...　+

7、zn

8、=1。求证：上述n个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于1/6。4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上。求证：四个三角形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，至少有一个的面积不大于ABC的面积的四分之一。5.能否把1,1,2,2,...,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着一千九百八十六个数。请证明你的结论。6.用任意的方

9、式，给平面上的每一点染上黑色或白色。求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程zn+1-zn-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等

10、。试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。4.所有结点上数的总和S。3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。5

11、.设A1A2A3A4是一个四面体，S1,S2,S3,S4分别是以A1,A2,A3,A4为球心的球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1,S2,S3,S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。1.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。1988年第三届中国数学奥林匹克1.设a1,a2,...,an是给定的不全为零的实数，r1,r2,...,rn为实数，如果不

12、等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≦√(x12+x22+...+xn2)+√(a12+a22+...+an2)对任何实数x1,x2,...,xn成立，求r1,r2,...,rn的值。2.设C1、C2为同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，将A1A4延长，交圆C2于B1。设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4。试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长)。并确定的号成立的

13、条件。3.在有限的实数列a1,a2,...,an中，如果一段数ak,ak+1,...,ak+l-1的算术平均值大于1988，那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把ak叫做这条龙的“龙头”(如果某一项an>1988，那么单独这一项也叫龙)。假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。4.(1)设三个正实数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)。　求证：a、b、c一定是某个三角形的三条边长。(2)设n个正实数a1,a2,...,an满足　(a

14、12+a22+...+an2)2>(n-1)(a14+a24+...+an4)其中n≧3。　求证：这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。5.给出三个四面体AiBiCiDi(i=1,2,3)，过点Bi、Ci、Di作平面αi、βi、γi(i=1,2,3)，分别与棱AiBi、AiCi、AiDi垂直(i=1,2,3)，如果九个平面αi、βi、γi(i=1,2,3)相交于一点E，而三点A1