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时间:2018-07-25
《量子力学曾谨言习题解答第七章》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章:粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场中,带电粒子的速度算符的各分量,满足下述的对易关系:(1)(2)(3)[证明]根据正则方程组:,同理是正则动量,不等于机械动量,将所得结果代入(1)的等号左方:=(4)正则动量与梯度算符相对应,即,因此又仅与点的座标有关(因)其余二式依轮换对称写出。[2]利用上述对易式,求出均匀磁场中,带电粒子能量的本征值(取磁场方向为Z轴方向)(解)设磁场沿Z轴方向,矢势的一种可能情形是在本题的情形,哈密顿算符是:(前题)速度算符间的对易式是:根据(),分别和,对易,因此与对易,而:与有共同的本征函数,的本征值是本征值之和。但,这和有心力势场一样是完全集合,
2、(6)式是一个平面谐振子(二维)的能量算符和一个角动量分量算符之和,按7.2和前一章的第(15)题,(6)式中的本征值是(7)又这个能量算符的本征值是可以连续取值的,它和沿z轴作自由运动的粒子的动能算符一样,因而有:但取间任何值,E是连续谱。(3)证明在规范变换下(1)(2)(机械动量的平均值)都不变(3)(证明)如课本证明,要规范变换下,若将体系的波函数作以下变换(P243。17式)(4)则薛定谔方程形式不变,将(4)代入(1)式等号右方,设变换后儿率密度:又设变换后儿率流密度是,将(4)代入(2)式右方,同时又代入(5)注意到算符的对易关系推广到三维:(6)令则有:(7)(8)将(7
3、)(8)代入(5)式等号右方第一项第二项,(5)式成为:(9)在证明第3式时,设变换后的是。写出右方平均值的显式,用(4)的波数变换,和的矢势的变换式:前式第一个积分可重复用(7)式,得:命题得证————————————————————————————————[4]若采用柱座标系,求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。(解)设粒子的柱座标是,取矢势的柱座标的分量度为柱座标的梯度算符证明为以下形式(1)式中的是一点上沿等势面作出的单位矢量,但和直角坐标的单位矢量不同,,方向随着点变化,而且它们对的导数也不是零,能证明:,参看附图计算哈氏算符:(要计及单位矢导数)(少图)(2)观察(2)知道=
4、0,=0,但=,=,因此,有共同本征函数,取(,)完全集合表示态,而波函数可含有,的本征函数作为其因式=(3)但m=0,…k=任何值。将(3)代入的本征方程式:(4)在消去与和z有关系的公因式后得(5)令作自变量变换,则有:代入(5)得(6)式中(7)其次求(6)的关于奇点上的近似解时,(6)成为:渐近解时,(6)成为:渐近解,所以方程式(6)的特解可假设为:(8)将(8)代入(6)后得关于的微分方程:(9)这属于合流超几级数,后者的一般形式是:(10)后者的解是合流超几级数;它表示为:(11)由于对比系数知道(9)的解是(12)但从收敛的性质说,合流超几何级数的邻项比是(取极限),这和
5、已知函数邻项比极限相同。不适宜作为波函数,因此,若取(12)作为满足标准条件的解,级数需要中断,若(12)作为多项式最高幂n,则项的系数为零,要求+n=0即(13)从(7)知道,这条件是:解出E,得到(14)此式第一项与有关是沿纵方向(z轴)运动的能量,无磁场亦存在后项是磁场引起的。#[5]设带电粒子相互的均匀电场和均匀磁场中运动,求其能谱及波函数(取磁场方向为z轴,电场方向为x轴方向)[解]为使能量本征方程能够求得,可以这样选择矢势,使设电场的大小是,选择标势,使场沿着x轴,哈密顿算符是:(1)中不出现y和z,因此可以依照本章中§7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法,先求能量本征函数,
6、由于,守恒,波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子:(2)代入能量本征方程式:整理,并约去同因式后,得到X(x)的本征方程(3)或者简写作式中,方程式(3)明显的是一个沿x方向振动的谐振子的?定谔态方程式,它的固有频率是,振动中心在一点上,同时具有能量本征值:其中是有关于y、z方向的分能量,按一维谐振子理论,它的能级是(4)它的本征函数写作(5)这外个运动点电荷的总能量E是:(6)#[6]设带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场中运动,求能谱公式。[解]本题采用柱面座标时,可以像第4题那样,将本征函数表示成合流超几何级数,因而决定能量本征值,解法也类似。粒子座标为令此外应将谐振子
7、的弹性力场写成柱面形成:根据本章习题4中合算符公式(2)再添上前述附加项:(1)哈氏算符的两面部分与有关,第二部分与z有关,这二者是对易,因此能量本征值也分二部分,可以分别计算,也可有分离变量法将本征函数分为二部分:(2)得到:(3)(3)式左方的哈氏算符可以和对易,因此可以和这个算符的本征函数有共同因式可设但将(4)代入(3)得:整理后写成:(5)这个方程式和第4题的方程式(5)是相似的,其中,本题方程式(5)的相当于第4题(5)
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