量子力学曾谨言习题解答第七章

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1、第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：（1）（2）（3）[证明]根据正则方程组：，同理是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方：=（4）正则动量与梯度算符相对应，即，因此又仅与点的座标有关（因）其余二式依轮换对称写出。[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）（解）设磁场沿Z轴方向，矢势的一种可能情形是在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）速度算符间的对易式是：根据（），分别和，对易，因此与对易，而：与有共同的本征函数，的本征值是本征值之和。但，这和有心力势场一样是完全集合，

2、（6）式是一个平面谐振子（二维）的能量算符和一个角动量分量算符之和，按7.2和前一章的第（15）题，（6）式中的本征值是（7）又这个能量算符的本征值是可以连续取值的，它和沿z轴作自由运动的粒子的动能算符一样，因而有：但取间任何值，E是连续谱。（3）证明在规范变换下（1）（2）（机械动量的平均值）都不变（3）（证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P243。17式）（4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后儿率密度：又设变换后儿率流密度是，将（4）代入（2）式右方，同时又代入（5）注意到算符的对易关系推广到三维：（6）令则有：（7）(8)将（7

3、）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项，（5）式成为：（9）在证明第3式时，设变换后的是。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和的矢势的变换式：前式第一个积分可重复用（7）式，得：命题得证————————————————————————————————[4]若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。（解）设粒子的柱座标是，取矢势的柱座标的分量度为柱座标的梯度算符证明为以下形式（1）式中的是一点上沿等势面作出的单位矢量，但和直角坐标的单位矢量不同，，方向随着点变化，而且它们对的导数也不是零，能证明：，参看附图计算哈氏算符：（要计及单位矢导数）（少图）(2)观察（2）知道=

4、0，=0,但=，=，因此，有共同本征函数，取（，）完全集合表示态，而波函数可含有，的本征函数作为其因式=（3）但m=0,…k=任何值。将（3）代入的本征方程式：(4)在消去与和z有关系的公因式后得（5）令作自变量变换，则有：代入（5）得（6）式中（7）其次求（6）的关于奇点上的近似解时，（6）成为：渐近解时，（6）成为：渐近解，所以方程式（6）的特解可假设为：（8）将（8）代入（6）后得关于的微分方程：（9）这属于合流超几级数，后者的一般形式是：（10）后者的解是合流超几级数；它表示为：（11）由于对比系数知道（9）的解是（12）但从收敛的性质说，合流超几何级数的邻项比是（取极限），这和

5、已知函数邻项比极限相同。不适宜作为波函数，因此，若取（12）作为满足标准条件的解，级数需要中断，若（12）作为多项式最高幂n，则项的系数为零，要求+n=0即（13）从（7）知道，这条件是：解出E，得到（14）此式第一项与有关是沿纵方向（z轴）运动的能量，无磁场亦存在后项是磁场引起的。#[5]设带电粒子相互的均匀电场和均匀磁场中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向）[解]为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使设电场的大小是,选择标势，使场沿着x轴，哈密顿算符是：（1）中不出现y和z，因此可以依照本章中§7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法，先求能量本征函数，

6、由于，守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子：（2）代入能量本征方程式：整理，并约去同因式后，得到X（x）的本征方程（3）或者简写作式中，方程式（3）明显的是一个沿x方向振动的谐振子的？定谔态方程式，它的固有频率是，振动中心在一点上，同时具有能量本征值：其中是有关于y、z方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是(4)它的本征函数写作（5）这外个运动点电荷的总能量E是：（6）#[6]设带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场中运动，求能谱公式。[解]本题采用柱面座标时，可以像第4题那样，将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量本征值，解法也类似。粒子座标为令此外应将谐振子

7、的弹性力场写成柱面形成：根据本章习题4中合算符公式（2）再添上前述附加项：（1）哈氏算符的两面部分与有关，第二部分与z有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分：（2）得到：（3）（3）式左方的哈氏算符可以和对易，因此可以和这个算符的本征函数有共同因式可设但将（4）代入（3）得：整理后写成：(5)这个方程式和第4题的方程式（5）是相似的，其中，本题方程式（5）的相当于第4题（5）