量子力学曾谨言习题解答第十一章

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1、第十一章：量子跃迁[1]具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。（1）跃迁选择定则：为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）（1）式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项（2）根据谐振子的无微扰能量本征函数来计

2、算这矩阵元（3）式中，~446~要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：（4）代入（3），利用波函数的正交归一化关系：（5）由此知道，对指定的初态来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态和初态的关系必需是：这时（6）这时因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。（2）每秒钟从基态跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到：~447~[2]设有一带电的粒子，质量为，在宽度为的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长。（1）求跃迁的选择定则。（2）设粒子原来

3、处于基态，求跃迁速率公式。（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。（1）跃迁选择定则：按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）（1）根据此式计算矩阵元：利用不定积分公式：(2)~448~(3)从最后一式知道，要使矩阵元，必需要是奇数。但这个规律也可以用别种方式叙述，当是奇数时必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数因此二者之中，一个是奇另一个是偶。（2）跃迁速率：依前题公式（1）（4）偶数时，奇数时（5）粒子从基

4、态，跃迁到任何一个偶数态的速率：~449~[3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向、电场沿z轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：求时间充分长后，氢原子跃迁到2s，或2p态的几率。（解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k态）的波函数是：，末态（态）的波函数是或，它们的显式是如下：1s态（1）2s态（2）2p态（3a）（3b）（3c）~450~这些公式后面都要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不

5、同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§11-1公式（24）（4）微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：（5）微扰算符在初态（即）以及末态（即或）之间的矩阵元是：（6）将（6）代入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用表达：~451~（7）（前式中利用了）其次计算偶极矩阵元与无关部分，按题意，要求两种跃迁几率，下面分别进行：跃迁，即从态的几率：（8）代入（4）中知道的跃迁不存在。再考察的跃迁，由于2p有三种不同态，自1s跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总和

6、。（9）~452~同理可求（10）（11）将三种值分别代入（7），得（12）相应的跃迁几率（）因~453~量子力学题解（P454—P473）#[4]计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。（解）按照爱因斯坦辐射理论，这系数是：（1）第一激发态是指E2的态（四度简并的），从第一激发态只能跃迁到基态E1。关于偶极矩阵元，应注意到：（2）现在应当分别就四种跃迁计算其跃迁的几率，最后求总和，这才能代表E2—>E1的跃迁。（i）（200—100跃迁）按照氢原子选择定则：（课本P397）的矩阵元才不全为零。因此这种跃迁是禁约的

7、（==）。但是我们也可以不用这个定则，直接用波函数得出这结果：（3a）（3b）（3c）代入（2）和（1）得（4）（ii）（210->100跃迁），这种跃迁不违背定则，是可能的。（5a）（5b）（5c）代入（1）得（6）前式中的共振频率ωk’k用k’=2,k=1代入，并使用氢原子能级公式：代入（6）得：（7）（iii）211—>100跃迁：仿照前一计算：（8a）（8b）（8c）因而有：在代入（1）有：（9）（iv）21-1—>100跃迁：关于这种跃迁，在偶极矩阵元的计算上，只是Ψ21-1的ψ部分有差异即应将Ψ211中

8、的eiψ更换成e-iψ，计算所得数值与（8a）、（8b）、（8c）相同，即（只是，不影响A的值）：（10）按题意，从第一激发态跃迁到基态的几率，应当包括第一激发态的四种简并Ψ200，Ψ211，Ψ21-1，Ψ210分别跃迁到Ψ100的总几率，所以应当将（7）、（9）、（10）求总和，于是有：根据前一题计算所得到的自发辐射系数A2p->1s，以及相应的发射频率ω