2012年全国初中数学竞赛决赛试题及参考答案

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）（第1题图）1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a2．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0）的图

2、象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）3．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1（B）（C）（D）4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）45．一枚质地均匀的正方体骰子

3、的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6题图）（第7题图）7．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是.8．如果关

4、于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的两个实数根分别为，，那么的值为．9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.（第10题图）三、解答题

5、（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．12．如图，⊙O的直径为，⊙O1过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与⊙O1交于点，且．点在上，且，BE的延长线与⊙O1交于点，求证：△BOC∽△．（第12题图）13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数.当a≥2012时，求a的最小值.14．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．

6、C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．2．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.4．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得消去x得(2y－7)n=y+4，2n=.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．

7、从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．二、填空题6．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487≤487，故x

8、的取值范围是7＜x≤19．7．8解：连接DF，记正方形的边长为2.由题设易知△∽△，所以，由此得，所以.在Rt△ABF中，因为，所以（第7题），于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.8．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得(k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．9．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤