线性代数串讲讲义

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1、华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义第一章行列式一．行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义例1行列式第二行第一列元素的代数余子式（　　　）A．B．C．D．测试点余子式和代数余子式的概念解析,答案B2．行列式按一行或一列展开的公式1）2）例2设某阶行列式的第二行元素分别为对应的余子式分别为则此行列式的值为.测试点行列式按行(列)展开的定理解例3已知行列式的第一列的元素为，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x问.测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之

2、和为零.解因第一列的元素为，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义所以3．行列式的性质1）2）用数乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4已知，那么（）A.B.C.D.测试点行列式的

3、性质解析答案B例5设行列式=1，=2，则=（　　　）A．B．C．1D．测试点行列式的性质解故应选D答案D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式例6求4阶行列式的值.测试点行列式的计算解例7计算3阶行列式

4、解例8计算行列式：测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解例9计算行列式测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义解例10计算行列式解例11设问（1）中，项的系数＝？（2）方程有几个根？试写出所有的根。测试点1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.解（1）项的系数(2)因为所以方程有三个根:-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲

5、讲义第二章矩阵一、矩阵的概念1.要弄清矩阵与行列式的区别2.两个矩阵相等的概念3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1．矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件例1设矩阵,，，则下列矩阵运算中有意义的是（　　　）A．B．C．D．测试点:矩阵相乘有意义的充分必要条件答案:B例2设矩阵，，则=_____________.测试点:矩阵运算的定义解.例3设矩阵，，则____________.测试点:矩阵运算的定义解2．矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加

6、法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.(-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义如果，可能例如都不为零，但.3．转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若，则称为对称（反对称）阵例4矩阵为同阶方阵，则=（　　　）A．B．C．D．答案:B例5设令,试求.测试点矩阵乘法的一个常用技巧解因为,所以答案例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（　　　）A．B．C．D．解析故为对称阵.故为反对称阵.故为对称阵

7、.同理也为对称阵.答案B例7已知矩阵,为2阶单位矩阵,令求-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义测试点方阵多项式的概念;4.方阵的行列式的性质例7设为n阶方阵，为实数，则=（　　　）A．B．C．D．答案:C例8矩阵，则行列式___________.解析答案5.逆矩阵1）方阵可逆(也称非异，满秩)的充分必要条件是.当可逆时，.其中方阵的伴随阵的定义。特别当时，重要公式-46-华夏大地教育网lhttp//:www.edu-edu.com.cn《线性代数》串讲讲义；；与的关系2）重要

8、结论：若n阶方阵满足，则都可逆，且.3）逆矩阵的性质：;当时，；;.4）消去律：设方阵可逆，且，则必有.（若不知可逆，仅知结论不一定成立。）6．分快矩阵矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如；分快矩阵