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1、第一章矢量分析本章内容：主要介绍与电磁场理论相关的矢量分析方法及定理1.1矢量代数1.2三种常用的正交坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理11.1矢量代数1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一、定义标量：只有大小，没有方向的物理量。如电压、温度、时间、质量、电荷等；矢量：既有大小，又有方向的物理量。如电场、磁场、力、速度、力矩等。2二、零矢量和单位矢量零矢量：大小为零的矢
2、量，称为空矢（NullVector）或零矢(ZeroVector)；单位矢量：大小为1的矢量(UnitVector)。表示为3三、矢量的表示方法几何表示：有向线段。线段的长度表示矢量的模，即大小，箭头方向表示该矢量的方向.数学表示：矢量的大小或模单位矢量4（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线矢量的加减符合交换律和结合律交换律结合律1.1.2矢量的加法和减法5（1）标量乘矢量（2）矢量的标积（点积或点乘）矢量的标积符合交换律和分配律1.1.2矢量的乘法标量与矢量的乘积仍为矢量k﹥0，只改变大小，不改变方向；
3、k﹤0，不仅大小改变，方向为反方向两个矢量的点积是一个标量6（3）矢量的矢积（叉积或叉乘）两个矢量的叉积是一个矢量它垂直于包含矢量A和B的平面，方向满足右手螺旋，大小为矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律7（4）矢量的混合运算81.2三种常用的正交坐标系为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系。而且，常根据被研究物体几何形状的不同而采用不同的坐标系。在电磁场理论中，常用的坐标系有三种：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量u1、u2、u3(如直角坐标系中的x、y、z)，当u1、u2、u
4、3均为常数时，就代表三组曲面(或平面)，称为坐标面。9若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交线(一般是曲线)也在空间每点正交，这种坐标系叫做正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正交曲线坐标系中较常用的三种。空间任一点M沿坐标面的三条交线方向各取的单位矢量，称为坐标单位矢量。它的模等于1，并以各坐标变量正的增加方向作为正方向。一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右手螺旋法则。10(-∞,+∞)空间任一点P(x0,y0,z0)是三个坐标曲面：x=x0,y=y0,z=z0的交点重要特征：其方向不随P点位置的变化而变化，是常矢量，遵循右手
5、螺旋法则Ax、Ay、Az分别是矢量在ex、ey、ez方向上的投影基本变量：x、y、z直角坐标系单位矢量：变化范围均为矢量表示：11两个矢量运算在直角坐标系中的数学表示和差等于对应分量之和或之差点积叉积矢量运算：12在直角坐标系中，位置矢量其微分体积元为在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为13基本变量：ρ、Φ、z变化范围均为圆柱坐标系[0,+∞)、[0,2π]、(-∞,+∞)空间任一点P(ρ0,Φ0,z0)是三个坐标曲面：ρ=ρ0,Φ=Φ0,z=z0的交点以z轴作轴线的半径为ρ的圆柱面z=z圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系
6、为：以z轴为界的半平面平行于xy平面的平面或者为：14重要特征：不是常矢量，其方向随空间坐标变化，沿ρ,Φ,z增加的方向。遵循右手螺旋法则单位矢量：特别强调：圆柱坐标系中的三个单位矢量(与直角坐标系的不同)，除外，和都不是常矢量，因为它们的方向随P点的位置(即空间坐标)不同而变化。15两种坐标系下的坐标单位矢量之间的变换关系：或者圆柱坐标系到直角坐标系的关系：由下图可得到直角坐标系到圆柱坐标系的关系：由上式可知和是随φ变化的，且：16矢量表示：其中，Aρ、Aφ、Az分别是矢量在、、方向上的投影。矢量运算：17在圆柱坐标系中，位置矢量其微分它在ρ
7、、φ、z增加方向上的微分元分别是：dρ、ρdφ、dz，三者都是长度，如图所示。拉梅系数：位置矢量微分元与各自坐标的微分之比体积元为在圆柱坐标系中，与三个坐标单位矢量垂直的三个面积元分别为18基本变量：r、θ、φ变化范围均为球坐标系空间任一点P(r0,θ0,φ0)是三个坐标曲面：r=r0,θ=θ0,φ=φ0的交点球坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：或者为：[0,+∞)、[0,π]、[0,2π]半径为r的球面以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面以z轴为界的半平面19重要特征：不是常矢量，其方向随空间坐标变化，沿r,θ，Φ,增加的方向。遵循右手螺旋法
8、则单位矢量：特别强调：球坐标系中的三个单位矢量(与直角坐标系的不同)，不是常矢量，因为它们的方向随P点的位置(即空间坐标)不同而变化。20球坐标系与直
