平面问题的极坐标解答5

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1、第四章例题例题1（习题4-8）试考察应力函数能解决图中所示弹性体的何种受力问题？yxaa0解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2（习题4-9）解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。例题3（习题4-18）（1）按量

2、纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，（3）将代入相容方程，得其解为于是得的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在的边界上，有（4）由求得应力分量，为了考虑原点o附近有集中力偶的

3、作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为(a)上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出代入应力公式，得最后的应力解答，(b)设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，例题4（习题4-19）xy0F（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数

4、。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量，代入几何方程，得由前两式积分，得将代入第三式，并分开变量，得为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出(b)将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(d)(e)将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F

5、作用下的应力和位移的解答。例题5解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章例题两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即两边对积分，得于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式再求一次导数，得将和代入的表达式；并由式（c）得得解为代入后，得出位移的解答如下，由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。代入，得最后的位移解

6、，水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。例题6解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有显然，在圆周上有因此，圆盘在对径受压时，其应力解是(a),(b),(c)三部分解答之和。两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对

7、应的应力分量为由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第四章例题图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。例题7解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为在两端部，或者